数据校验码

差错 (Error)

• 数据在计算机内部进行计算、存取和传送过程中，由于元器件故障或噪音干扰等原因，会出现差错。

• 以存储为例

  • 硬故障（hard failure）：永久性的物理故障，以至于受影响的存储单元不能可靠地存储数据，成为固定的“1”或“0”故障，或者在0和1之间不稳定地跳变。
    • 由恶劣的环境、制造缺陷和旧损引起
  • 软故障（soft error）：随机非破坏性事件，它改变了某个或某些存储单元的内容，但没有损坏机器。
    • 由电源问题或α粒子引起。

• 解决方案
  • 从计算机硬件可靠性入手，在电路、电源、布线等方面采取必要
  的措施，提高计算机的抗干扰能力
  • 采取数据检错和校正措施，自动发现并纠正错误。

纠错（Error Correction）

• 基本思想：存储额外信息进行检错和校正。

• 处理过程：

• 数据输入：使用函数 $f$ 在 $M$ 位数据 $D$ 上生成 $K$ 位校验码 $C$。

• 使用函数 $f$ 在 $M$ 位数据 $D'$ 上生成新的 $K$ 位校验码 $C''$, 并和取出的 $K$ 位码 $C'$ 进行比较。

• 没有检测到差错：使用 $D'$

• 检测到差错且可以纠正：纠正 $D'$ 得到 $D''$，并用 $D''$。

• 检测到差错但无法修复：报告。

奇偶校验码

• 基本思想：增加一位奇偶校验位来表示数据中的 1 的个数是奇数还是偶数。

• 处理过程：假设数据 $D=D_M....D_1$

• 数据输入:

• 奇校验：$C = D_M\oplus D_{M-1}...\oplus D_1\oplus 1$

• 偶校验：$C = D_M \oplus ...\oplus D_1$

• 数据输出：

• 奇校验：$C'' = D'_M\oplus ...\oplus D'_1\oplus 1$

• 偶校验：$C'' = D'_M\oplus ...\oplus D_1$

• 检错
  $S = C'\oplus C''$
  当 S = 0：没有差错或者差错个数为偶数个。
  当 S = 1：差错个数为奇数个。

• 优点
  只需要 1 位额外位，代价低。

• 缺点
  无法发现偶数个差错的情况，而且无法校正。（因为并不能定位差错的位置）

• 适用于较短的数据（比如1个字节）的检错：因为在短数据内出现多个差错的可能性较小。

在奇偶校验码的基础上，我们对一个数据的位分组，分别使用奇偶校验码，就得到了海明码。

海明码

• 基本思想：把数据分成 K 组，对每一组都使用奇偶校验码进行纠错。
• 处理过程：
  为输入数据 D 的每组产生一位奇偶校验码，得到 K 位奇偶校验码 C 。
  为输出数据 D' 的每组产生一位奇偶校验码，得到 K 位奇偶校验码 C''
• 检错：将 C'' 和取出的 C' 按位异或得到 K 位故障字 (syndrome word)

接下来要考虑的问题就是，如何分组，要分多少组。
我们先来考虑要分多少组。

对于检错结果有以下的情况：

1. 校验位中出现 1 位错误。 K 种情况
2. 数据中出现 1 位错误 M 种
3. 没有错误 1 种情况

因此，要表示这么多情况，K，M 必然满足如下不等式 $2^K \ge M+K+1$

故障字的作用
• 每种取值都反映一种情形（数据出错 / 校验码出错 / 未出错）
• 规则
• 全部是0：没有检测到错误
• 有且仅有1位是1：错误发生在校验码中的某一位，不需要纠正
• 有多位为1：错误发生在数据中的某一位，将𝐷′中对应数据位
取反即可纠正（得到𝐷"）

那么接下来的一个重要的问题是：如何对数据进行划分？
• 数据位划分
• 假定数据位为8位 𝐷 = 𝐷8 … 𝐷2𝐷1, 校验码为4位𝐶 = 𝐶4𝐶3𝐶2𝐶1
• 数据位/校验码与故障字的关系

• 数据位划分
𝐶1 = 𝐷1 ⊕ 𝐷2 ⊕ 𝐷4 ⊕ 𝐷5 ⊕ 𝐷7
𝐶2 = 𝐷1 ⊕ 𝐷3 ⊕ 𝐷4 ⊕ 𝐷6 ⊕ 𝐷7
𝐶3 = 𝐷2 ⊕ 𝐷3 ⊕ 𝐷4 ⊕ 𝐷8
𝐶4 = 𝐷5 ⊕ 𝐷6 ⊕ 𝐷7 ⊕ 𝐷8
该如何理解以上的公式呢？
首先我们需要引入一个假设，那就是数据位和校验码加起来形成的信息最多只有一位出错，这是合理的，因为在这种短数据里，如果硬件没问题，多位出错的概率很小。
如果 4 位故障字中只有一个 1，那么说明 C',C'' 有且仅有 1 位不同，再结合假设，可知是对应校验位出错。
要明白如何分组，我们看 $D_i$ 对应的故障字，比如 $D_1$, 它对应的故障字是 0011，第一个数据位出错会导致这种故障字的产生，可知 $D_1$ 会影响 $C_1，C_2$,因此在 $C_1,C_2$ 的计算式中要包含 $D_1$, 其他的也是以此类推。
• 位安排
• 将位设置在与其故障字值相同的位置

• 示例
• 假定8位数据字为𝐷=01101010，在生成海明码时采用偶校验
• 校验位计算如下
𝐶1 = 𝐷1 ⊕ 𝐷2 ⊕ 𝐷4 ⊕ 𝐷5 ⊕ 𝐷7 = 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 = 1
𝐶2 = 𝐷1 ⊕ 𝐷3 ⊕ 𝐷4 ⊕ 𝐷6 ⊕ 𝐷7 = 0 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 1
𝐶3 = 𝐷2 ⊕ 𝐷3 ⊕ 𝐷4 ⊕ 𝐷8 = 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 0 = 0
𝐶4 = 𝐷5 ⊕ 𝐷6 ⊕ 𝐷7 ⊕ 𝐷8 = 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 = 0
• 存储时的12位内容
011001010011

• 获取时的12位内容
• 情形1: 011001010011
𝐷′=01101010 𝐶′′=0011, 𝐶′=0011
𝑆 = 𝐶′′ ⊕ 𝐶
′
= 0011⨁0011 = 0000
• 情形2: 011101010011
𝐷′=01111010 𝐶′′=1010, 𝐶′=0011
𝑆 = 𝐶′′ ⊕ 𝐶
′
= 1010⨁0011 = 1001
• 情形3: 011011010011
𝐷′=01101010 𝐶′′=0011, 𝐶′=1011
𝑆 = 𝐶′′ ⊕ 𝐶
′
= 0011⨁1011 = 1000

循环冗余校验

• 奇偶校验问题： 额外成本很大，要求将数据分成字节
• 循环冗余校验（Cyclic Redundancy Check, CRC）
• 适用于以流格式存储和传输大量数据
• 用数学函数生成数据和校验码之间的关系
• 基本思想
• 假设数据有M位，左移数据K位（右侧补0），并用K+1位生成多项
式除它(模2运算)
• 采用K位余数作为校验码
• 把校验码放在数据（不含补的0）后面，一同存储或传输
• 校错
• 如果M+K位内容可以被生成多项式除尽，则没有检测到错误
• 否则，发生错误

NOTE: MOD2 除法
MOD 2 除法的一种理解方法是用 MOD2 减法来实现，在 MOD 2 减法中，1-0=0-1=1，1-1=0-0=0，可以看出，其实就是异或运算。每次减去除数的一个若干倍数，最后直到无法再相减，即被减数有效位数小于减数。

例：110011000/1001
110011000-100100000 = 111000
111000 - 100100 = 11100
11100 - 10010 = 1110
1110 - 1001 = 111
因此最后余数为 111

总结

•纠错
•数据出错的原因，纠错的原理和处理过程
•常用的数据校验码
•奇偶校验码
•海明码
•循环 冗余校验码