Lambda演算(一)

写于软工一学完Lambda演算的一个星期多后，感觉对这个东西依然晕晕的，查了一些资料之后借此随笔来梳理一下，加深理解。

Lambda 演算

Definition

1. $\lambda$ 项

$\lambda$ 项是 $\lambda$ 演算中最基本的概念，可以递归地定义：

- 变量

假设我么有一个无穷字符串集合，其元素称为变量。例如:x 是一个变量。变量可以是一个字母或者一个字符串，表示一个参数(形参）或者一个值(实参）。

- 原子

每一个变量都是一个 $\lambda$ 项。

- 抽象

若 M 是一个 $\lambda$ 项，那么，$\lambda$ x.M是一个 $\lambda$ 项。简单来说可以看作生成了一个匿名的函数，有形参 x。

- 应用

若 M，N都是 $\lambda$ 项，则 （MN) 也是一个 $\lambda$ 项。简单来说可以看作把实参 N 代入函数 M。

注意：函数的输入也可以是函数。

2. 符号约定

我们按一下符号约定使用符号：

• 用大写字母如 M, N 表示任意 $\lambda$ 项，用小写字母和希腊字母如 $x,y,\phi$ 表示变量。
• 对于括号，有以下省略约定：

1. $\lambda$ 项最外层的括号可以直接省略。如 （$\lambda x.x$） 可以省略为$\lambda x.x$.
2. 左结合的应用型 $\lambda$ 项，括号可以省略。如 ((（MN)P)Q) 可以省略为 MNPQ.
3. 抽象型的 $\lambda$ 项 $\lambda \phi.(xy)$ 可以省略为 $\lambda \phi.xy$ 即默认情况下 $\phi$ 的管辖范围尽量长。

3. 自由变量与绑定变量

不受约束的变量是自由变量，如 $\lambda x.xyz$ 中 x 是约束变量，y，z 是自由变量，这和数理逻辑里的概念是一样的。如果一个项没有自由变量，则它是一个组合子。

4. 柯里化

某些时候我们需要表达多元的函数，比如 $f(x,y) \equiv xy$,但是 $\lambda$ 函数只能接受一个参数，注意到 $\lambda$ 函数的输入也可以是函数，因此这时我们可以使用柯里化，分层地定义，如$\lambda x y.xy \equiv \lambda x.(\lambda y.yx)$,在内层函数中 x 可视作常量。

演算公理系统

1. $\alpha$ 变换

类似数理逻辑里面的改名规则，$\lambda x.(\lambda y.xy) \equiv \lambda a.(\lambda b.ab)$

2. $\beta$ 规约

其实就是用实参替换函数里的形参。如：$(\lambda x.(2x)) y \equiv 2y$,以及$(\lambda x.\lambda y.x-y)7\quad2 \equiv (\lambda y.7-y)2 \equiv (\lambda x.x -2)7 \equiv 5$

Practice

阶段总结

到此，我们基本建立了 $\lambda$ 演算的大厦，它包括三条定义：原子，抽象，应用，和两条规则，$\alpha$ 变换和$\beta$ 规约，以及约定了一些符号使用。