Day 19 - 构造、转换与模拟

合集 - 2024 暑假(51)

1.2024 暑假记2024-08-162.Day 1 - 二分2024-07-083.Day 1 - 题目集2024-07-084.Day 2 - 分治、倍增、LCA 与树链剖分2024-07-095.Day 2 - 题目集2024-07-096.Day 3 - 单调栈、单调队列、凸包与斜率优化2024-07-107.Day 3 - 题目集2024-07-108.Day 4 - 搜索进阶与模拟2024-07-119.Day 4 - 题目集2024-07-1110.Day 5 - 双指针与折半搜索2024-07-1211.Day 5 - 题目集2024-07-1212.Day 7 - 哈希与 KMP2024-07-1413.Day 7 - 题目集2024-07-1414.Day 8 - 并查集、堆、set 与 map2024-07-1515.Day 8 - 题目集2024-07-1516.Day 9 - 线段树2024-07-1617.Day 9 - 题目集2024-07-1718.Day 10 - 动态规划与树状数组2024-07-1719.Day 10 - 题目集2024-07-1720.Day 11 - 模拟赛2024-07-1821.Day 11 - 题目集2024-07-1822.Day 13 - 树形 DP 与换根 DP2024-07-2023.Day 13 - 题目集2024-07-2024.Day 14 - 模拟赛2024-07-2125.Day 14 - 题目集2024-07-2126.Day 15 - 数位 DP 与状压 DP2024-07-2227.Day 15 - 题目集2024-07-2228.Day 16 - 模拟赛2024-07-2329.Day 16 - 题目集2024-07-2330.Day 17 - 贪心2024-07-2431.Day 17 - 题目集2024-07-24

32.Day 19 - 构造、转换与模拟2024-07-26

33.Day 19 - 题目集2024-07-2634.Day 20 - 最短路与差分约束2024-07-2735.Day 20 - 题目集2024-07-2736.Day 21 - 最小生成树2024-07-2837.Day 21 - 题目集2024-07-2838.Day 22 - 图论联通性2024-07-2939.Day 22 - 题目集2024-07-2940.Day 23 - 模拟赛2024-07-3041.Day 23 - 题目集2024-07-3042.Day 25 - 同余与乘法逆元2024-08-0143.Day 25 - 题目集2024-08-0144.Day 26 - 模拟赛2024-08-0245.Day 26 - 题目集2024-08-0346.Day 27 - 欧几里得算法与中国剩余定理2024-08-0347.Day 27 - 题目集2024-08-0348.Day 28 - 组合数学与矩阵初步2024-08-0449.Day 28 - 题目集2024-08-0450.Day 29 - 结营测试2024-08-0551.Day 29 - 题目集2024-08-05

收起

1|0构造

1|1引入

构造题是比赛中常见的一类题型。

从形式上来看，问题的答案往往具有某种规律性，使得在问题规模迅速增大的时候，仍然有机会比较容易地得到答案。

这要求解题时要思考问题规模增长对答案的影响，这种影响是否可以推广。

例如，在设计动态规划方法的时候，要考虑从一个状态到后继状态的转移会造成什么影响。

1|2特点

构造题一个很显著的特点就是高自由度，也就是说一道题的构造方式可能有很多种，但是会有一种较为简单的构造方式满足题意。

看起来是放宽了要求，让题目变的简单了，但很多时候，正是这种高自由度导致题目没有明确思路而无从下手。

构造题另一个特点就是形式灵活，变化多样。并不存在一个通用解法或套路可以解决所有构造题，甚至很难找出解题思路的共性。

1|3例题

例一：

构造一组 $x,y,z$，使得对于给定的 $n$，满足 ${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}={\displaystyle \frac{2}{n}}$

解题思路：

显然 $n,n+1,n(n+1)$ 为一组合法解。特殊地，当 $n=1$ 时，无解，这是因为 $n+1$ 与 $n(n+1)$ 此时相等。

至于构造思路是怎么产生的，大概就是观察样例加上一点点数感了吧。此题对于数学直觉较强的人来说并不难。

例二：

$\text{Task1}$：试判断能否构造并构造一个长度为 $n$ 的 $1\dots n$ 的排列，满足其 $n$ 个前缀和在模 $n$ 的意义下互不相同

$\text{Task2}$：试判断能否构造并构造一个长度为 $n$ 的 $1\dots n$ 的排列，满足其 $n$ 个前缀积在模 $n$ 的意义下互不相同

解题思路：

对于 $\text{task1}$：

当 $n$ 为奇数时，无法构造出合法解；

当 $n$ 为偶数时，可以构造一个形如 $n,1,n-2,3,\cdots$ 这样的数列。

首先，我们可以发现 $n$ 必定出现在数列的第一位，否则 $n$ 出现前后的两个前缀和必然会陷入模意义下相等的尴尬境地；

然后，我们考虑构造出整个序列的方式：

考虑通过构造前缀和序列的方式来获得原数列，可以发现前缀和序列两两之间的差在模意义下不能相等，因为前缀和序列的差分序列对应着原来的排列。

因此我们尝试以前缀和数列在模意义下为

$$0,1,-1,2,-2,\cdots$$

这样的形式来构造这个序列，不难发现它完美地满足所有限制条件。

对于 $\text{task2}$：

当 $n$ 为除 $4$ 以外的合数时，无法构造出合法解

当 $n$ 为质数或 $4$ 时，可以构造一个形如 $1,{\displaystyle \frac{2}{1}},{\displaystyle \frac{3}{2}},\cdots ,{\displaystyle \frac{n-1}{n-2}},n$ 这样的数列

先考虑什么时候有解：

显然，当 $n$ 为合数时无解。因为对于一个合数来说，存在两个比它小的数 $p,q$ 使得 $p\times q\equiv 0(\mathrm{mod}n)$，如 $(3\times 6)\mathrm{\%}9=0$。那么，当 $p,q$ 均出现过后，数列的前缀积将一直为 $0$，故合数时无解。特殊地，我们可以发现 $4=2\times 2$，无满足条件的 $p,q$，因此存在合法解。

我们考虑如何构造这个数列：

和 $\text{task1}$ 同样的思路，我们发现 $1$ 必定出现在数列的第一位，否则 $1$ 出现前后的两个前缀积必然相等；而 $n$ 必定出现在数列的最后一位，因为 $n$ 出现位置后的所有前缀积在模意义下都为 $0$。分析题目给出的几组样例以后发现，所有样例中均有一组合法解满足前缀积在模意义下为 $1,2,3,\cdots ,n$，因此我们可以构造出上文所述的数列来满足这个条件。那么我们只需证明这 $n$ 个数互不相同即可。

我们发现这些数均为 $1\cdots n-2$ 的逆元 $+1$，因此各不相同，此题得解。

例三：

给定一个整数 $N$，试构造一个节点数为 $N$ 无向图。令节点编号为 $1\dots N$，要求其满足以下条件：

• 这是一个简单连通图。
• 存在一个整数 $S$ 使得对于任意节点，与其相邻节点的下标和为 $S$。

保证输入数据有解。

解题思路：

通过分析 $n=3,4,5$ 的情况，我们可以找到一个构造思路。

构造一个完全 $k$ 分图，保证这 $k$ 部分和相等。则每个点的 $S$ 均相等，为 ${\displaystyle \frac{(k-1)\sum _{i=1}^{n}i}{k}}$。

如果 $n$ 为偶数，那么我们可以前后两两配对，即 $\{1,n\},\{2,n-1\}\cdots$

如果 $n$ 为奇数，那么我们可以把 $n$ 单拿出来作为一组，剩余的 $n-1$ 个两两配对，即 $\{n\},\{1,n-1\},\{2,n-2\}\cdots$

这样构造出的图在 $n\ge 3$ 时连通性易证，在此不加赘述。

此题得解。

2|0模拟

2|1简介

模拟就是用计算机来模拟题目中要求的操作。

模拟题目通常具有码量大、操作多、思路繁复的特点。由于它码量大，经常会出现难以查错的情况，如果在考试中写错是相当浪费时间的。

2|2技巧

写模拟题时，遵循以下的建议有可能会提升做题速度：

• 在动手写代码之前，在草纸上尽可能地写好要实现的流程。
• 在代码中，尽量把每个部分模块化，写成函数、结构体或类。
• 对于一些可能重复用到的概念，可以统一转化，方便处理：如，某题给你 "$\text{YY-MM-DD}$ 时：分" 把它抽取到一个函数，处理成秒，会减少概念混淆。
• 调试时分块调试。模块化的好处就是可以方便的单独调某一部分。
• 写代码的时候一定要思路清晰，不要想到什么写什么，要按照落在纸上的步骤写。

实际上，上述步骤在解决其它类型的题目时也是很有帮助的。

2|3例题

Climbing Worm。

一只长度不计的蠕虫位于 $n$ 英寸深的井的底部。它每次向上爬 $u$ 英寸，但是必须休息一次才能再次向上爬。在休息的时候，它滑落了 $d$ 英寸。之后它将重复向上爬和休息的过程。蠕虫爬出井口需要至少爬多少次？如果蠕虫爬完后刚好到达井的顶部，我们也设作蠕虫已经爬出井口。

解题思路：

直接使用程序模拟蠕虫爬井的过程就可以了。用一个循环重复蠕虫的爬井过程，当攀爬的长度超过或者等于井的深度时跳出。

参考代码：

#include <cstdio>

int main(void) {
  int n = 0, u = 0, d = 0;
  std::scanf("%d%d%d", &u, &d, &n);
  int time = 0, dist = 0;
  while (true) {  // 用死循环来枚举
    dist += u;
    time++;
    if (dist >= n) break;  // 满足条件则退出死循环
    dist -= d;
  }
  printf("%d\n", time);  // 输出得到的结果
  return 0;
}

2|4习题

• 「NOIP2014」生活大爆炸版石头剪刀布 - Universal Online Judge
• 「OpenJudge 3750」魔兽世界
• 「SDOI2010」猪国杀 - LibreOJ

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本文作者：So_noSlack
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