Day 19 - 构造、转换与模拟
构造
引入
构造题是比赛中常见的一类题型。
从形式上来看，问题的答案往往具有某种规律性，使得在问题规模迅速增大的时候，仍然有机会比较容易地得到答案。
这要求解题时要思考问题规模增长对答案的影响，这种影响是否可以推广。
例如，在设计动态规划方法的时候，要考虑从一个状态到后继状态的转移会造成什么影响。
特点
构造题一个很显著的特点就是高自由度，也就是说一道题的构造方式可能有很多种，但是会有一种较为简单的构造方式满足题意。
看起来是放宽了要求，让题目变的简单了，但很多时候，正是这种高自由度导致题目没有明确思路而无从下手。
构造题另一个特点就是形式灵活，变化多样。并不存在一个通用解法或套路可以解决所有构造题，甚至很难找出解题思路的共性。
例题
例一：
构造一组 \(x,y,z\)，使得对于给定的 \(n\)，满足 \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{2}{n}\)
解题思路：
显然 \(n, n + 1, n(n + 1)\) 为一组合法解。特殊地，当 \(n = 1\) 时，无解，这是因为 \(n + 1\) 与 \(n(n + 1)\) 此时相等。
至于构造思路是怎么产生的，大概就是观察样例加上一点点数感了吧。此题对于数学直觉较强的人来说并不难。
例二：
\(\text{Task1}\)：试判断能否构造并构造一个长度为 \(n\) 的 \(1\dots n\) 的排列，满足其 \(n\) 个前缀和在模 \(n\) 的意义下互不相同
\(\text{Task2}\)：试判断能否构造并构造一个长度为 \(n\) 的 \(1\dots n\) 的排列，满足其 \(n\) 个前缀积在模 \(n\) 的意义下互不相同
解题思路：
对于 \(\text{task1}\)：
当 \(n\) 为奇数时，无法构造出合法解；
当 \(n\) 为偶数时，可以构造一个形如 \(n, 1, n - 2, 3, \cdots\) 这样的数列。
首先，我们可以发现 \(n\) 必定出现在数列的第一位，否则 \(n\) 出现前后的两个前缀和必然会陷入模意义下相等的尴尬境地；
然后，我们考虑构造出整个序列的方式：
考虑通过构造前缀和序列的方式来获得原数列，可以发现前缀和序列两两之间的差在模意义下不能相等，因为前缀和序列的差分序列对应着原来的排列。
因此我们尝试以前缀和数列在模意义下为
这样的形式来构造这个序列，不难发现它完美地满足所有限制条件。
对于 \(\text{task2}\)：
当 \(n\) 为除 \(4\) 以外的合数时，无法构造出合法解
当 \(n\) 为质数或 \(4\) 时，可以构造一个形如 \(1, \dfrac{2}{1}, \dfrac{3}{2}, \cdots, \dfrac{n - 1}{n - 2}, n\) 这样的数列
先考虑什么时候有解：
显然，当 \(n\) 为合数时无解。因为对于一个合数来说，存在两个比它小的数 \(p,q\) 使得 \(p \times q \equiv 0 \pmod n\)，如 \((3 \times 6) \% 9 = 0\)。那么，当 \(p, q\) 均出现过后，数列的前缀积将一直为 \(0\)，故合数时无解。特殊地，我们可以发现 \(4 = 2 \times 2\)，无满足条件的 \(p, q\)，因此存在合法解。
我们考虑如何构造这个数列：
和 \(\text{task1}\) 同样的思路，我们发现 \(1\) 必定出现在数列的第一位，否则 \(1\) 出现前后的两个前缀积必然相等；而 \(n\) 必定出现在数列的最后一位，因为 \(n\) 出现位置后的所有前缀积在模意义下都为 \(0\)。分析题目给出的几组样例以后发现，所有样例中均有一组合法解满足前缀积在模意义下为 \(1, 2, 3, \cdots, n\)，因此我们可以构造出上文所述的数列来满足这个条件。那么我们只需证明这 \(n\) 个数互不相同即可。
我们发现这些数均为 \(1 \cdots n - 2\) 的逆元 \(+ 1\)，因此各不相同，此题得解。
例三：
给定一个整数 \(N\)，试构造一个节点数为 \(N\) 无向图。令节点编号为 \(1\ldots N\)，要求其满足以下条件：
- 这是一个简单连通图。
- 存在一个整数 \(S\) 使得对于任意节点，与其相邻节点的下标和为 \(S\)。
保证输入数据有解。
解题思路：
通过分析 \(n = 3, 4, 5\) 的情况，我们可以找到一个构造思路。
构造一个完全 \(k\) 分图，保证这 \(k\) 部分和相等。则每个点的 \(S\) 均相等，为 \(\dfrac{(k - 1)\sum_{i = 1}^{n}i}{k}\)。
如果 \(n\) 为偶数，那么我们可以前后两两配对，即 \(\{1, n\}, \{2, n - 1\} \cdots\)
如果 \(n\) 为奇数，那么我们可以把 \(n\) 单拿出来作为一组，剩余的 \(n - 1\) 个两两配对，即 \(\{n\}, \{1, n - 1\}, \{2, n - 2\}\cdots\)
这样构造出的图在 \(n \ge 3\) 时连通性易证，在此不加赘述。
此题得解。
模拟
简介
模拟就是用计算机来模拟题目中要求的操作。
模拟题目通常具有码量大、操作多、思路繁复的特点。由于它码量大，经常会出现难以查错的情况，如果在考试中写错是相当浪费时间的。
技巧
写模拟题时，遵循以下的建议有可能会提升做题速度：
- 在动手写代码之前，在草纸上尽可能地写好要实现的流程。
- 在代码中，尽量把每个部分模块化，写成函数、结构体或类。
- 对于一些可能重复用到的概念，可以统一转化，方便处理：如，某题给你 "\(\text{YY-MM-DD}\) 时：分" 把它抽取到一个函数，处理成秒，会减少概念混淆。
- 调试时分块调试。模块化的好处就是可以方便的单独调某一部分。
- 写代码的时候一定要思路清晰，不要想到什么写什么，要按照落在纸上的步骤写。
实际上，上述步骤在解决其它类型的题目时也是很有帮助的。
例题
一只长度不计的蠕虫位于 \(n\) 英寸深的井的底部。它每次向上爬 \(u\) 英寸，但是必须休息一次才能再次向上爬。在休息的时候，它滑落了 \(d\) 英寸。之后它将重复向上爬和休息的过程。蠕虫爬出井口需要至少爬多少次？如果蠕虫爬完后刚好到达井的顶部，我们也设作蠕虫已经爬出井口。
解题思路：
直接使用程序模拟蠕虫爬井的过程就可以了。用一个循环重复蠕虫的爬井过程，当攀爬的长度超过或者等于井的深度时跳出。
参考代码：
#include <cstdio>
int main(void) {
int n = 0, u = 0, d = 0;
std::scanf("%d%d%d", &u, &d, &n);
int time = 0, dist = 0;
while (true) { // 用死循环来枚举
dist += u;
time++;
if (dist >= n) break; // 满足条件则退出死循环
dist -= d;
}
printf("%d\n", time); // 输出得到的结果
return 0;
}
习题
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