Day 17 - 贪心

贪心

适用范围

贪心算法在有最优子结构的问题中尤为有效。

最优子结构的意思是问题能够分解成子问题来解决，子问题的最优解能递推到最终问题的最优解。

证明

贪心算法有两种证明方法：反证法和归纳法。

一般情况下，一道题只会用到其中的一种方法来证明。

1. 反证法：如果交换方案中任意两个元素/相邻的两个元素后，答案不会变得更好，那么可以推定目前的解已经是最优解了。

2. 归纳法：先算得出边界情况（例如 \(n = 1\)）的最优解 \(F_1\)，然后再证明：对于每个 \(n\)，\(F_{n + 1}\) 都可以由 \(F_{n}\) 推导出结果。

常见题型

在提高组难度以下的题目中，最常见的贪心有两种。

• 「我们将 \(XXX\) 按照某某顺序排序，然后按某种顺序（例如从小到大）选择。」。

• 「我们每次都取 \(XXX\) 中最大/小的东西，并更新 \(XXX\)。」（有时「\(XXX\) 中最大/小的东西」可以优化，比如用优先队列维护）

二者的区别在于一种是离线的，先处理后选择；一种是在线的，边处理边选择。

排序解法

用排序法常见的情况是输入一个包含几个（一般一到两个）权值的数组，通过排序然后遍历模拟计算的方法求出最优值。

后悔解法

思路是无论当前的选项是否最优都接受，然后进行比较，如果选择之后不是最优了，则反悔，舍弃掉这个选项；否则，正式接受。如此往复。