Day 1 - 二分

合集 - 2024 暑假(51)

1.2024 暑假记2024-08-16

2.Day 1 - 二分2024-07-08

3.Day 1 - 题目集2024-07-084.Day 2 - 分治、倍增、LCA 与树链剖分2024-07-095.Day 2 - 题目集2024-07-096.Day 3 - 单调栈、单调队列、凸包与斜率优化2024-07-107.Day 3 - 题目集2024-07-108.Day 4 - 搜索进阶与模拟2024-07-119.Day 4 - 题目集2024-07-1110.Day 5 - 双指针与折半搜索2024-07-1211.Day 5 - 题目集2024-07-1212.Day 7 - 哈希与 KMP2024-07-1413.Day 7 - 题目集2024-07-1414.Day 8 - 并查集、堆、set 与 map2024-07-1515.Day 8 - 题目集2024-07-1516.Day 9 - 线段树2024-07-1617.Day 9 - 题目集2024-07-1718.Day 10 - 动态规划与树状数组2024-07-1719.Day 10 - 题目集2024-07-1720.Day 11 - 模拟赛2024-07-1821.Day 11 - 题目集2024-07-1822.Day 13 - 树形 DP 与换根 DP2024-07-2023.Day 13 - 题目集2024-07-2024.Day 14 - 模拟赛2024-07-2125.Day 14 - 题目集2024-07-2126.Day 15 - 数位 DP 与状压 DP2024-07-2227.Day 15 - 题目集2024-07-2228.Day 16 - 模拟赛2024-07-2329.Day 16 - 题目集2024-07-2330.Day 17 - 贪心2024-07-2431.Day 17 - 题目集2024-07-2432.Day 19 - 构造、转换与模拟2024-07-2633.Day 19 - 题目集2024-07-2634.Day 20 - 最短路与差分约束2024-07-2735.Day 20 - 题目集2024-07-2736.Day 21 - 最小生成树2024-07-2837.Day 21 - 题目集2024-07-2838.Day 22 - 图论联通性2024-07-2939.Day 22 - 题目集2024-07-2940.Day 23 - 模拟赛2024-07-3041.Day 23 - 题目集2024-07-3042.Day 25 - 同余与乘法逆元2024-08-0143.Day 25 - 题目集2024-08-0144.Day 26 - 模拟赛2024-08-0245.Day 26 - 题目集2024-08-0346.Day 27 - 欧几里得算法与中国剩余定理2024-08-0347.Day 27 - 题目集2024-08-0348.Day 28 - 组合数学与矩阵初步2024-08-0449.Day 28 - 题目集2024-08-0450.Day 29 - 结营测试2024-08-0551.Day 29 - 题目集2024-08-05

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1|0整数二分

我们可以做到每次排除一半的答案，时间复杂度 $O(\log n)$。

long long l = L, r = R;
while(l <= r) {
    long long mid = (l + r) >> 1;
    if(mid > x) r = mid - 1;
    else l = mid + 1;
}
long long ans = l;

2|0实数二分

我们规定一个精度 $eps$，以此达到整数二分的效果，时间复杂度为 $O(\log \frac{R-L}{eps})$。

为了防止精度过度导致死循环，我们可以限制二分次数，如限制为 $100$ 次。

实际应用

1. 实现求解连续函数的零点（近似解）。

2. $0/1$ 分数规划。

3. 最小比值生成树。

3|0三分法

三分法衍生自二分法，三分法求单峰函数的峰值。

3|1算法流程

设当前搜索域为 $[l,r]$，取该区间的三等分点 $\text{lmid,rmid}$。

若满足 $f(\text{lmid})<f(\text{rmid})$，则可以排除 $[l,\text{lmid}]$。

若满足 $f(\text{lmid})=f(\text{rmid})$，则可以排除 $[l,\text{lmid}]\cup [\text{rmid},r]$。

若满足 $f(\text{lmid})>f(\text{rmid})$，则可以排除 $[\text{rmid},r]$。

3|2实数三分

double l = L, r = R;
for(int i = 1; i <= 100; i ++) {
    double lmid = l + (r - l) / 3, rmid = r - (r - l) / 3;
    if(f(lmid) < f(rmid)) l = lmid;
    else r = rmid;
}
double ans = f(l);

3|3整数三分

long long l = L, r = R;
while(r - l > 3) {
    long long lmid = l + (r - l) / 3, rmid = r - (r - l) / 3;
    if(f(lmid) < f(rmid)) l = lmid;
    else r = rmid;
}
long long ans = f(l);
for(int i = l + 1; i <= r; i ++) ans = max(ans, f(i));

3|4算法优化

考虑计算时间复杂度，由于每次搜索域缩减到 $\frac{2}{3}$。

因此时间复杂度为 $O({\log }_{\frac{3}{2}}\frac{R-L}{eps})$。

我们完全可以将 $\text{lmid}$ 和 $\text{rmid}$ 不断接近，以此达到使 $\log$ 的底数无限接近 $2$。

3|5应用场景

在单峰性/单谷性能够证明的题目中，三分法都能高效地适配。

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本文作者：So_noSlack
本文链接：https://www.cnblogs.com/So-noSlack/p/18289729.html
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