希尔排序（插入排序）-八大排序汇总（5）

基本思想

　　该方法的基本思想是：先将整个待排元素序列分割成若干个子序列（由相隔某个“增量”的元素组成的）分别进行直接插入排序，然后依次缩减增量再进行排序，待整个序列中的元素基本有序（增量足够小）时，再对全体元素进行一次直接插入排序。

稳定性

　　由于多次插入排序，我们知道一次插入排序是稳定的，不会改变相同元素的相对顺序，但在不同的插入排序过程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移动，最后其稳定性就会被打乱，所以shell排序是不稳定的。

时间复杂度

　　希尔排序的时间复杂度取决于步长的选择。

　　平均情况下，希尔排序的时间复杂度为O(Nlog₂N)，最坏情况下为O(N^1.5)。

空间复杂度

　　O(1)

使用场景

　　希尔排序时间复杂度的下界是n*log2n。希尔排序没有快速排序算法快 O(n(logn))，因此中等大小规模表现良好，对规模非常大的数据排序不是最优选择。但是比O(  )复杂度的算法快得多。并且希尔排序非常容易实现，算法代码短而简单。 此外，希尔算法在最坏的情况下和平均情况下执行效率相差不是很多，与此同时快速排序在最坏的情况下执行的效率会非常差。

　　专家们提倡，几乎任何排序工作在开始时都可以用希尔排序，若在实际使用中证明它不够快，再改成快速排序这样更高级的排序算法

比较

　　希尔排序的实质就是分组插入排序，该方法又称缩小增量排序，是直接插入排序算法的一种更高效的改进版本。

　　希尔排序是基于插入排序的以下两点性质而提出改进方法的：

1. 插入排序在对几乎已经排好序的数据操作时，效率高，即可以达到线性排序的效率。
2. 但插入排序一般来说是低效的，因为插入排序每次只能将数据移动一位。

　　希尔排序优于直接插入排序，是因为希尔排序是按照不同步长对元素进行插入，当刚开始元素很无序的时候，步长最大，所以插入排序的元素个数很少，速度很快；当元素基本有序了，步长很小，插入排序对于有序的序列效率很高。

关于步长（增量）的选择

　　好的增量序列的共同特征：

　　① 最后一个增量必须为1；

　　② 应该尽量避免序列中的值(尤其是相邻的值)互为倍数的情况。

　　已知的最好步长序列是由Sedgewick提出的(1, 5, 19, 41, 109,...)，该序列的项来自

　　　　这两个算式。

　　这项研究也表明“比较在希尔排序中是最主要的操作，而不是交换。”用这样步长序列的希尔排序比插入排序和堆排序都要快，甚至在小数组中比快速排序还快，但是在涉及大量数据时希尔排序还是比快速排序慢。

 

代码及分析

以n=10的一个数组49, 38, 65, 97, 26, 13, 27, 49, 55, 4为例

第一次 gap = 10 / 2 = 5

49   38   65   97   26   13   27   49   55   4

1A                             1B

        2A                           2B

                 3A                         3B

                         4A                        4B

                                  5A                      5B

1A,1B，2A,2B等为分组标记，数字相同的表示在同一组，大写字母表示是该组的第几个元素， 每次对同一组的数据进行直接插入排序。即分成了五组(49, 13) (38, 27) (65, 49)  (97, 55)  (26, 4)这样每组排序后就变成了(13, 49)  (27, 38)  (49, 65)  (55, 97)  (4, 26)，下同。

第二次 gap = 5 / 2 = 2

排序后

13   27   49   55   4    49   38   65   97   26

1A         1B         1C         1D         1E

      2A         2B          2C         2D         2E

第三次 gap = 2 / 2 = 1

4   26   13   27   38    49   49   55   97   65

1A 1B   1C  1D   1E    1F   1G   1H   1I    1J

第四次 gap = 1 / 2 = 0 排序完成得到数组：

4   13   26   27   38    49   49   55   65   97

 

下面给出严格按照定义来写的希尔排序

void shellsort1(int a[], int n)
{
    int i, j, gap;

    for (gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2) //步长
    {
        for (i = 0; i < gap; i++)        //直接插入排序
        {
            for (j = i + gap; j < n; j += gap) 
                if (a[j] < a[j - gap])
            {
                int temp = a[j];
                int k = j - gap;
                while (k >= 0 && a[k] > temp)
                {
                    a[k + gap] = a[k];
                    k -= gap;
                }
                a[k + gap] = temp;
            }
        }
    }
}

　　类似直接插入排序，将上面代码进行简化，将搜索和数据后移这二个步骤合并。

void shellsort2(int a[], int n)
{
    int j, gap;
    
    for (gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2)
        for (j = gap; j < n; j++)//从数组第gap个元素开始
            if (a[j] < a[j - gap])//每个元素与自己组内的数据进行直接插入排序
            {
                int temp = a[j];
                int k = j - gap;
                while (k >= 0 && a[k] > temp)
                {
                    a[k + gap] = a[k];
                    k -= gap;
                }
                a[k + gap] = temp;
            }
}

　　下面的代码简化了希尔排序的代码，但是降低了效率

void shellsort3(int a[], int n)
{
    int i, j, gap;

    for (gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2)
        for (i = gap; i < n; i++)
            for (j = i - gap; j >= 0 && a[j] > a[j + gap]; j -= gap)
                Swap(a[j], a[j + gap]);
}

主要参考：http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/6668714

最后，http://www.cnblogs.com/huangxincheng/archive/2011/11/20/2255695.html给出了直接插入排序和希尔排序在时间性能上的比较（以C#）。

 下面是自己的理解，对比一下直接插入排序，希尔排序只要加上步长，并将直接插入排序中的跨度由1变成步长即可。

void insert(int a[], int n)
{
    //for (int gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2)
    {
        for (int i = 1/*gap*/; i < n; i += 1/*gap*/)
        {
            int tmp = a[i];
            int j;
            for (j = i - 1/*gap*/; a[j]>tmp && j >= 0; j -= 1/*gap*/)
            {
                a[j + 1/*gap*/] = a[j];
            }
            a[j + 1/*gap*/] = tmp;
        }
        for (int m = 0; m < n; m++)
        {
            cout << a[m] << ",";
        }
        cout << endl;
    }
}

放开注释并把步长由1换成gap即可

// insert sort
void insert(int a[], int n)
{
    for (int gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2)
    {
        for (int i = gap; i < n; i += gap)
        {
            int tmp = a[i];
            int j;
            for (j = i - gap; a[j]>tmp && j >= 0; j -= gap)
            {
                a[j + gap] = a[j];
            }
            a[j + gap] = tmp;
        }
        for (int m = 0; m < n; m++)
        {
            cout << a[m] << ",";
        }
        cout << endl;
    }
}

//
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    int a[] = { 12, 34, 21, 55, 27, 32, 33, 53, 22, 14, 4, 2, 6, 9 };
    insert(a, 14);
    system("pause");
    return 0;
}