数据结构-二叉树

二叉树基本性质

1 二叉树的基本性质

1.1 性质1: 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>0）

1.2 性质2: 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点（k>0）

1.3 性质3: 对于任何一棵二叉树，若度为2的结点数有n2个，则叶子数（n0）必定为n2＋1 （即n0=n2+1） 度为2 数 + 1 = 叶子数

1.4 性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度必为ëëlog2nû+1

1.4.1 (如 log2 (15) 点击 15 log / 2 log =)

1.5 性质5: 对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i＋1；其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外）

1.6 满二叉树 深度为k的数 并且节点数量为 2^k - 1

1.7 完全二叉树 除了最后一层，上面是一颗满二叉树，在最后一层上只缺少右边的若干节点。

二叉树的表示

二叉链表示法

typedef struct BiTNode
{
    int     data;
    struct BiTNode *lchild, *rchild;
}BiTNode, *BiTree;

三叉链表示法

每个节点有三个指针域，其中两个分别指向子节点（左孩子，右孩子），还有一个指针指向该节点的父节点。

typedef struct TriTNode 
{
    int data;
    //左右孩子指针
    struct TriTNode *lchild, *rchild;
    struct TriTNode *parent;
}TriTNode, *TriTree;

二叉树的遍历方式

定义：按某条搜索路线来遍历整个二叉树的所有节点。

 

遍历方法

牢记一种约定，对每个结点的查看都是“先左后右”

限定先左后右，树的遍历有三种实现方案：

根据根的位置不同，叫法不一样

DLR LDR LRD

先序遍历 中序遍历 后序遍历

DLR — 先序遍历，即先根再左再右

LDR — 中序遍历，即先左再根再右

LRD — 后序遍历，即先左再右再根

注：“先、中、后”的意思是指访问的结点D是先于子树出现还是后于子树出现。

从递归的角度看，这三种算法是完全相同的，或者说这三种遍历算法的访问路径是相同的，只是访问结点的时机不同。

二叉树的递归遍历

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 typedef struct BinaryNode
 5 {
 6     char ch;//数据域
 7 
 8     struct BinaryNode *lchild;//左孩子
 9     struct BinaryNode *rchild;//右孩子
10 
11 }BN;
12 void PreOrderTraverse(BN* a)//先序遍历
13 {
14     if (a == NULL)
15     {
16         return;
17     }
18     printf("%c ", a->ch);
19     PreOrderTraverse(a->lchild);
20     PreOrderTraverse(a->rchild);
21 }
22 void MisOrderTraverse(BN* a)//中序遍历
23 {
24     if (a == NULL)
25     {
26         return;
27     }
28     PreOrderTraverse(a->lchild);
29     printf("%c ", a->ch);
30     PreOrderTraverse(a->rchild);
31 }
32 void PostOrderTraverse(BN* a)//后序遍历
33 {
34     if (a == NULL)
35     {
36         return;
37     }
38     PreOrderTraverse(a->lchild);
39     PreOrderTraverse(a->rchild);
40     printf("%c ", a->ch);
41 
42 }
43 void test03()
44 {
45     BN nodeA = {'A',NULL,NULL };
46     BN nodeB = { 'B',NULL,NULL };
47     BN nodeC = { 'C',NULL,NULL };
48     BN nodeD = { 'D',NULL,NULL };
49     BN nodeE = { 'E',NULL,NULL };
50     BN nodeF = { 'F',NULL,NULL };
51     BN nodeG = { 'G',NULL,NULL };
52     BN nodeH = { 'H',NULL,NULL };
53 
54     nodeA.lchild = &nodeB;
55     nodeA.rchild = &nodeF;
56     nodeB.rchild = &nodeC;
57     nodeC.lchild = &nodeD;
58     nodeC.rchild = &nodeE;
59     nodeF.rchild = &nodeG;
60     nodeG.lchild = &nodeH;
61     PreOrderTraverse(&nodeA);
62     cout << endl;
63     MisOrderTraverse(&nodeA);
64     cout << endl;
65     PostOrderTraverse(&nodeA);
66     cout << endl;
67 }
68 int main()
69 {
70     test03();
71     return 0;
72 }