「SHOI2014」三叉神经树
「SHOI2014」三叉神经树
给你一颗由\(n\)个非叶子结点和\(2n+1\)个叶子结点构成的三叉树，每个结点儿子个数为\(0/3\)，每个叶子结点有一个输出：\(0\)或\(1\)，每个非叶子结点的输出为自己的叶子结点中较多的那一种状态。
有\(q\)次修改操作，每次修改一个叶子结点的输出，求每次修改后根结点的输出。
\(n\leq 5\times 10^5,q\leq 5\times 10^5\).
不难发现每个节点有两种可能的情况：
1.三个儿子输出均为\(0/1\)。
2.两个儿子输出为\(0/1\)，剩下一个儿子与之相反。
为了方便起见，我们简称第一种情况的点为1类点，第二种情况的点为2类点。
我们发现，一个点的输出被改变，只会影响它的连续若干位祖先。
同时，如果对1类点的任意一个儿子进行修改操作，并不会影响它自身的输出，同样也不会影响这个点的任何一个祖先，只是单纯的把这个点变成了2类点罢了。
而如果对2类点的一个儿子进行修改操作，则会有以下两种可能的结果：
- 1.这个点变成了1类点。
- 2.这个点的输出被改变了，并且这种改变还会向父亲传递，直到遇到第一个1类点或是输出与这个点不同的点。
我们定义以下状态：
- 状态\(0\)：输出\(0\)的2类点
- 状态\(1\)：输出\(1\)的2类点
- 状态\(2\)：1类点
这样问题就变成了求连续的最长\(0/1\)链，在序列上可以利用线段树上二分处理，而在树上我们则考虑利用树链剖分来进行维护。
当一个叶子结点输出修改后：
- 如果父亲结点输出未改变，则父亲结点一定在1类点和2类点之间进行了转化，对应线段树上单点修改。
- 如果父亲结点输出改变了，那么利用线段树二分自下而上找到被修改的祖先中深度最浅的。并且这一条链上所有的点都是2类点，在二分的过程中直接反转状态即可。
时间复杂度为\(\Omicron(n\log^2 n)\).
这里还要注意一个额外的细节，我们的线段树虽然维护了2类点的输出，但1类点的输出我们并不知晓，不过好在每次有关1类点的操作都是单点操作，所以我们可以额外开一个数组维护1类点的输出。
LCT做法挖坑！！！
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=500005;
int n,q,fa[maxn*3],son[maxn][3],a[maxn*3];
int wss[maxn],topf[maxn],dfn[maxn],idx[maxn],dfs_clock,siz[maxn];
inline int read(){
int res=0,f_f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f_f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') res=(res<<3)+(res<<1)+(ch-'0'),ch=getchar();
return res*f_f;
}
namespace SEG{
int tp[maxn<<2],rev[maxn<<2];
inline void push_up(int o){
int ls=o<<1,rs=o<<1|1;
if(tp[ls]!=tp[rs]||tp[ls]==2) tp[o]=2;
else tp[o]=tp[ls];
}
inline void modify(int o){
tp[o]^=1,rev[o]^=1;
}
inline void push_down(int o){
if(!rev[o]) return;
tp[o<<1]^=1,tp[o<<1|1]^=1,rev[o]=0;
rev[o<<1]^=1,rev[o<<1|1]^=1;
}
inline int update_tp(int o,int l,int r,int ql,int qr,int id){
int mid=l+r>>1,res;
if(ql<=l&&r<=qr){
if(tp[o]!=2){
if(tp[o]==id){
modify(o);
return l;
}
return 0;
}
if(l==r) return 0;
push_down(o);
res=update_tp(o<<1|1,mid+1,r,ql,qr,id);
if(res==mid+1){
int x=update_tp(o<<1,l,mid,ql,qr,id);
if(x) res=x;
}
push_up(o);
return res;
}
push_down(o);
if(qr<=mid) res=update_tp(o<<1,l,mid,ql,qr,id);
else if(ql>mid) res=update_tp(o<<1|1,mid+1,r,ql,qr,id);
else{
res=update_tp(o<<1|1,mid+1,r,ql,qr,id);
if(res==mid+1){
int x=update_tp(o<<1,l,mid,ql,qr,id);
if(x) res=x;
}
}
push_up(o);
return res;
}
inline void update_p(int o,int l,int r,int x,int v){
if(l==r&&l==x){
tp[o]=v;
return;
}
int mid=l+r>>1;
push_down(o);
if(x<=mid) update_p(o<<1,l,mid,x,v);
else update_p(o<<1|1,mid+1,r,x,v);
push_up(o);
}
inline int query(int o,int l,int r,int x){
if(l==r&&l==x) return tp[o];
int mid=l+r>>1;
push_down(o);
if(x<=mid) return query(o<<1,l,mid,x);
else return query(o<<1|1,mid+1,r,x);
}
}
inline void dfs1(int u,int cur){
siz[u]=1;
for (int i=0;i<3;i++){
int x=son[u][i];
if(!x) continue;
dfs1(x,u),siz[u]+=siz[x];
if(!wss[u]||siz[x]>siz[wss[u]]) wss[u]=x;
}
int res=(a[u]<=1)?0:1;
if(cur) a[cur]+=res;
}
inline void dfs2(int u,int cur){
dfn[u]=++dfs_clock,idx[dfs_clock]=u;
SEG::update_p(1,1,n,dfn[u],(a[u]!=0&&a[u]!=3)?a[u]-1:2);
topf[u]=cur,a[u]=(a[u]<=1)?0:1;
if(!wss[u]) return;
dfs2(wss[u],cur);
for (int i=0;i<3;i++){
int x=son[u][i];
if(!x||x==wss[u]) continue;
dfs2(x,x);
}
}
inline int update_range(int x,int id){
if(!x) return 0;
int res=SEG::update_tp(1,1,n,dfn[topf[x]],dfn[x],id);
if(res^dfn[topf[x]]) return res;
int cur=update_range(fa[topf[x]],id);
if(cur) return cur;
return res;
}
inline int get_p(int x){
int res=SEG::query(1,1,n,dfn[x]);
if(res^2) return res;
else return a[x];
}
int main(){
n=read();
for (int i=1;i<=n;i++){
for (int j=0;j<3;j++){
int x=read();
fa[x]=i;
if(x<=n) son[i][j]=x;
}
}
for (int i=n+1;i<=n*3+1;i++){
a[i]=read(),a[fa[i]]+=a[i];
}
dfs1(1,0),dfs2(1,1);
q=read();
while(q--){
int x=read(),y=update_range(fa[x],a[x]);
int now=fa[idx[y]!=0?idx[y]:x];
a[x]^=1;
if(now){
int res=SEG::query(1,1,n,dfn[now]);
if(res!=2) a[now]=res;
if(res==a[x]) SEG::update_p(1,1,n,dfn[now],2);
else SEG::update_p(1,1,n,dfn[now],a[now]);
}
printf("%d\n",get_p(1));
}
return 0;
}
