「SHOI2015」超能粒子炮・改

「SHOI2015」超能粒子炮・改

给你$T$组询问，每组询问给定参数$n,k$，计算$\sum\limits_^k\dbinom\bmod 2333$.

\(T\leq10^5,n,k\leq10^{18}\).

这题其实是$\operatorname$定理的一个简单扩展。

方便起见，令$p=2333$.

首先利用$\operatorname\(定理化简所求和式，由\)\dbinom\equiv\dbinom{n/p}{m/p}\times\dbinom{n%p}{m%p}\pmod p$得：

\[ \begin{align*} \sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}&\equiv \sum_{i=0}^k\binom{n/p}{i/p}\binom{n\%p}{i\%p}\\ &\equiv\sum_{i=0}^{p-1}\binom{n\%p}{i}\sum_{j=0}^{k/p-1}\binom{n/p}{j}+\binom{n/p}{k/p}\sum_{i=0}^{k\%p}\binom{n\%p}{i} \end{align*} \]

在该和式中，$\sum\limits_^{\dbinom{n%p}$和 $\sum\limits_}{k%p}\dbinom{n%p}\(都可以用\)\Omicron(p^2)\(的时间复杂度预处理，而\)\dbinom{n/p}{k/p}\(可以利用\)\operatorname\(定理在\)\Omicron(\log_pn)$的时间复杂度内计算。

所以我们只要能够计算出$\sum\limits_^{{k/p-1}\dbinom{n/p}\(就可以快速计算出\)\sum\limits_}\dbinom$，而这两个式子形式相同，并且每次$n,k$规模减半，所以可以递归解决，并且次数不超过$\log n$次。

所以总时间复杂度为$\Omicron(T\log^2n+p2)$.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=2333;
int T,c[mod+5][mod+5],pre[mod+5][mod+5];
inline ll read(){
    ll res=0,f_f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f_f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') res=(res<<3)+(res<<1)+(ch-'0'),ch=getchar();
    return res*f_f;
}
inline void Gmo(int &x){
    while(x<0) x+=mod;
    while(x>=mod) x-=mod;
}
inline void init(){
    c[0][0]=1;
    for (int i=1;i<mod;i++){
        c[i][i]=1,c[i][0]=1;
        for (int j=1;j<i;j++){
            c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
            Gmo(c[i][j]);
        }
    }
    for (int i=0;i<mod;i++){
        pre[i][0]=c[i][0];
        for (int j=1;j<mod;j++){
            pre[i][j]=pre[i][j-1]+c[i][j];
            Gmo(pre[i][j]);
        }
    }
}
inline int Lucas(ll n,ll m,int p){
    if(m==0) return 1;
    return 1ll*Lucas(n/p,m/p,p)*c[n%p][m%p]%p;
}
inline int calc(ll n,ll k,int p){
    int x=1ll*Lucas(n/p,k/p,p)*pre[n%p][k%p]%mod;
    if(k<p) return x;
    int y=1ll*pre[n%p][p-1]*calc(n/p,k/p-1,p);
    return (x+y)%mod;
}
int main(){
    T=read(),init();
    while(T--){
        ll n=read(),k=read();
        printf("%d\n",calc(n,k,mod));
    }
    return 0;
}