Codeforces 1404 D. Game of Pairs

Codeforces 1404 D.Game of Pairs

给定\(2n\)个数\(1,2,...,2n\)，A 和 B 将进行交互，规则如下：

• A 需要将元素分成 n 组 \(\mathbf{pair}\)（二元组）
• B 从每组 \(\mathbf{pair}\)中选择一个元素，如果权值和是 \(2n\) 的倍数，那么 B 胜，否则 A 胜。

你需要选择 A/B 中的一者扮演角色，并取得胜利。

\(n\le 5\times 10^5\).

由于可以自选角色，所以我们分别考虑两个角色的必胜情况。

我们首先发现如下性质：

• 由于\(\sum\limits_{i=1}^ni=\frac{n\times(n-1)}{2}\)，所以当\(n\)是偶数时，\(\sum_{i=1}^ni\)一定不是\(n\)的倍数。

于是针对\(n\)为偶数的情况我们可以很容易地构造出无解的方案：将\(i\)和\(i+n(i\in[1,n])\)放进一组，那么无论B怎么选，最后的总和一定是形如\(\frac{n\times(n-1)}{2}+kn\)的某个数，这个式子的后一项一定是\(n\)的倍数，而前一项一定不是\(n\)的倍数，所以A必胜。

我们继续考虑\(n\)为奇数的情况。

这种情况下，B是存在必胜策略的。

• 由于\(\sum\limits_{i=1}^{n}i=\frac{n\times(n-1)}{2}\)，所以当n是奇数是，\(\sum_{i=1}^{n}i\)一定是n的倍数。

A先手，构造出了一个方案，我们考虑如何破解它。

首先将\(i\)和\(i+n\)连边，\(i\)和\(\text{pair}(i)\)连边，那么\(2n\)个数一定被划成了若干个大偶环，环上隔一个取，\(i\)和\(i+n\)两个里刚好选一个，假设选了\(k\)个\(i+n\)，那么目前答案为\(\frac{n\times(n-1)}{2}+kn\)，然后由于一共有奇数个\(i+n\)，所以\(k\)和\(n-k\)中有一个是奇数，一个是偶数，按照\(\frac{n-1}{2}\)的奇偶性进行选择即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=500005;
int n,fa[maxn<<1],siz[maxn<<1];
int tp[maxn<<1],xorv[maxn<<1],used[maxn<<1];
int Q[maxn],topc;
bool vis[maxn<<1];
inline int read(){
    int res=0,f_f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f_f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') res=(res<<3)+(res<<1)+(ch-'0'),ch=getchar();
    return res*f_f;
}
inline int get_fa(int x){
    return x==fa[x]?x:fa[x]=get_fa(fa[x]);
}
inline void merge_fa(int x,int y){
    siz[get_fa(x)]+=siz[get_fa(y)];
    fa[get_fa(y)]=get_fa(x);
}
inline void dfs(int u){
    vis[u]=true;
    int v=xorv[tp[u]]^u;
    v=(v>n)?v-n:v+n;
    if(vis[v]) return;
    merge_fa(u,v),dfs(v);
}
int main(){
    n=read();
    if(n%2==0){
        printf("First\n");
        cout.flush();
        for (int i=1;i<=(n<<1);i++){
            if(i^(n<<1)) printf("%d ",(i-1)%n+1);
            else printf("%d\n",(i-1)%n+1);
            cout.flush();
        }
    }
    else{
        printf("Second\n");
        cout.flush();
        for (int i=1;i<=(n<<1);i++) tp[i]=read(),xorv[tp[i]]^=i;
        for (int i=1;i<=(n<<1);i++) fa[i]=i;
        for (int i=n+1;i<=(n<<1);i++) siz[i]=1;
        for (int i=1;i<=(n<<1);i++){
            if(vis[i]) continue;
            dfs(i);
        }
        int ans=(n+1)/2&1;
        for (int i=1;i<=(n<<1);i++){
            if(i^get_fa(i)) continue;
            int v=get_fa(xorv[tp[i]]^i);
            if(v>i) continue;
            used[i]=1,ans^=(siz[i]&1);
        }
        if(ans){
            for (int i=1;i<=(n<<1);i++){
                if(!used[i]) continue;
                int v=get_fa(xorv[tp[i]]^i);
                if((siz[v]^siz[i])&1){
                    used[i]=0,used[v]=1;
                    break;
                }
            }
        }
        for (int i=1;i<=(n<<1);i++){
            if(used[get_fa(i)]) Q[++topc]=i;
        }
        for (int i=1;i<=topc;i++){
            if(i^topc) printf("%d ",Q[i]);
            else printf("%d\n",Q[i]);
        }
    }
    return 0;
}