矩阵&&高斯消元
矩阵运算：
\(A\times B\)叫做\(A\)左乘\(B\)，或者\(B\)右乘\(A\)。
行列式性质：
\(1.\)交换矩阵的两行（列），行列式取相反数。
\(2.\)某一行元素都\(\times k\)，行列式值也\(\times k\)。
\(3.\)某一行加到另一行上，行列式值不变。
\(4.\)矩阵某两行（列）元素分别成比例，行列式值为\(0\)。
\(5.A+B=C\Rightarrow|A|+|B|=|C|\)。
\(6.\)矩阵与转置矩阵行列式相等。
对于方阵而言：
\(7.|A^\tau|=|A|\)
\(8.|AB|=|A||B|\)
矩阵的转置：
\(1.(A^\tau)^\tau=A\)
\(2.(A+B)^\tau=A^\tau+B^\tau\)
\(3.(\lambda A)^\tau=\lambda A^\tau\)
\(4.(AB)^\tau=B^\tau A^\tau\)
余子式：
\(n\)阶矩阵的余子式\(M_{ij}=\)矩阵\(A\)去掉第\(i\)行第\(j\)列的\(n-1\)阶矩阵行列式。
代数余子式\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)。
伴随矩阵：
矩阵\(A^*\)的各项元素\(a_{ij}=\)矩阵\(A\)的代数余子式\(A_{ij}\)，那么称\(A^*\)是\(A\)的伴随矩阵，记作\(A^*\)。
逆矩阵：
\(1.\)矩阵\(A\)可逆 等价于 \(|A|\ne 0\)
\(2.A^{-1}=\frac 1 {|A|}A^*\)（求伴随矩阵的\(Gauss\)算法）
矩阵的秩：
\(k\)阶子式：选\(k\)行\(k\)列，把交点元素按顺序组成\(k\)阶矩阵。
非零子式：没有零行的子式。
行阶梯矩阵：每一行首非零元素都在上一行非零元素的右面，列阶梯矩阵同理。
最简形矩阵：行首非零元素为\(0\)的行阶梯矩阵。
矩阵的秩:\(R(A)=A\)的最高阶非零子式的阶数，也是通过矩阵的初等变换（\(Gauss\)）把\(A\)变成行阶梯矩阵（或最简形矩阵）后的非零行个数。
向量的旋转与矩阵：
把向量表示成列矩阵\(\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)\)，逆时针旋转向量\(\theta\)角就是矩阵\(\left(\begin{matrix}cos\theta&-sin\theta\\sin\theta&cos\theta\end{matrix}\right)\)左乘向量列矩阵，另有\(\left(\begin{matrix}cos\theta&-sin\theta\\sin\theta&cos\theta\end{matrix}\right)^n\)=\(\left(\begin{matrix}cos~n\theta&-sin~n\theta\\sin~n\theta&cos~n\theta\end{matrix}\right)\)。
模板：
实数高斯消元：
int gauss_float(){
for(int i=1;i<=n;i++){
bj=0;
for(int j=i;j<=n;j++)
if(fabs(a[j][i])>eps){bj=j;break;}
if(bj==0) return 0;
for(int j=i;j<=n+1;j++) swap(a[bj][j],a[i][j]);
for(int j=i+1;j<=n;j++){
double d=a[i][i]/a[j][i];
for(int k=i;k<=n+1;k++)
a[j][k]=a[j][k]*d-a[i][k];
}
}
for(int i=n;i>=1;i--){
ans[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
for(int j=1;j<i;j++) a[j][n+1]-=a[j][i]*ans[i];
}
return 1;
}
行列式： 如果没有mod，把%mod去掉即可。
int determinant(){
dete=1;
for(int i=1;i<=tot;i++){
for(int j=i+1;j<=tot;j++){
while(a[j][i]){
long long t=a[i][i]/a[j][i];
for(int k=i;k<=tot;k++){
a[i][k]=((a[i][k]-a[j][k]*t%mod)%mod+mod)%mod;
swap(a[i][k],a[j][k]);
}
dete=((-dete)%mod+mod)%mod;
}
}
if(a[i][i]==0) return 0;
dete=((dete*a[i][i])%mod+mod)%mod;
}
return 1;
}
矩阵求逆：
int matrix_inv(){
for(int i=1;i<=n;i++){
bj=0;
for(int j=i;j<=n;j++)
if(a[j][i]!=0){bj=j;break;}
if(bj==0) return 0;
for(int j=i;j<=n+n;j++) swap(a[bj][j],a[i][j]);
long long INV=qpow(a[i][i],mod-2);
for(int j=i;j<=n+n;j++) a[i][j]=a[i][j]*INV%mod;
for(int k=1;k<=n;k++){
if(k==i) continue;
for(int j=i+1;j<=n+n;j++)
a[k][j]=((a[k][j]-a[k][i]*a[i][j]%mod)%mod+mod)%mod;
a[k][i]=0;
}
}
return 1;
}
矩阵树定理：
无向图：（度数矩阵-邻接矩阵）去掉任意一行任意一列的行列式=该无向图的生成树个数。
有向图：（入度矩阵-邻接矩阵）去掉i行i列的行列式=以i为根（出发点）的外向树形图。
\(~~~~~~~~~~~~~\)（出度矩阵-邻接矩阵）去掉i行i列的行列式=以i为根（到达点）的内向树形图。
