动态规划

dp凸优化:

\(1.\)对于一个很难求的函数\(f(x)\)，我们发现他是凸函数（导函数单调/差分值单调），且\(g(x,k)=f(x)-kx\)的极值好算，且能知道取极值的时候\(x\)的值，那么我们可以凸优化（\(wqs\)二分）。
\(2.\)用一条直线去切这个凸包，可以方便的求出切点：
\(对于直线\)y=kx+b\(，切点就是在\)(x,f(x))\(中选取使\)b\(最大的点，由，\)max(b)=max(y-kx)=max(f(x)-kx)\(可得，切点横坐标是所有点都向下平移\)kx$后的最高点。
\(3.\)求得切点后，根据切点与所求点位置的关系更新斜率，重复这个过程。

动态dp：

大致思想：将dp的转移转化成矩阵的乘法，从而可以快速的进行动态的修改。
流程：
把矩阵乘法转变成

\[C_{i,j}=MAX_k\{A_{i,k}+B_{k,j}\} \]

然后把dp方程变形成重链上序列的形式。
对于每一次修改，在重链上更新dp值。

状压dp：

如何记状态P4363 【九省联考2018】一双木棋chess.用一个二进制数表示轮廓线，长\(n+m\)位，含有\(n\)个1和\(m\)个00，轮廓线从右上走到左下，二进制中一位\(1\)表示向下\(1\)格，\(0\)表示向左\(1\)格

插头dp：

普通版：二进制\(0/1\)维护是否有插头，讨论合并。
进阶1.0：题目的限制使得不能任意合并插头，要保留插头在上部的部分信息，那么就要（用最小表示法等+\(hash\)表）记录，但是效率会变低。
进阶2.0：根据题目性质用（括号匹配等）更加优化的方法来记录信息。
进阶3.0：在空间（也可以加hash优化）&打代码时间允许的情况下，用\(2\)的次幂作为进制，利用二进制操作加快速度。
广义的括号匹配：把中间的插头设为\()(\)，独立的插头设为\(()\)，这样可以区分该不该合并，但是要注意合并的时候修改插头很麻烦。
Problems：P2109 [NOI2007]生成树计数

基环树 & 仙人掌dp：

建立圆方树，在圆方树上\(dp\)，如果两点之间只有一条边，不建方点。考虑转移：
1.圆点更新圆点：树上dp
2.圆点不更新方点。
3.方点不与方点相连。
4.方点更新圆点：把所有这个环中的点拿出来跑环上dp。
要死了：仙人掌剖分？静态仙人掌
仙人掌分治？跳蚤国王下江南600行？

组合容斥+dp：

树形dp：

所求问题是链，在转移的同时维护，一条链替换另一条的时候，两条链组合更新答案。
值域

其他套路：

用函数表示状态：斜率是整数，函数为下（上）凸壳，维护所有拐点（表示斜率增加/减少1）的位置，转移就是合并两个拐点集合。例题

dp优化：

\(1.\)推式子使得\(f\)数组周围形式相同把常数和\(f\)数组合并成新的\(dp\)数组。
\(2.\)

\[f[l,r]=max(a[l,r],max_{i=l}^r\{min(f[l,i],f[i,r])\}) \]

枚举答案\(T\)，如果\(a[l,r]>T\)，\(l\)到\(r\)连边，最后
看能否联通\(1,n\)。