博弈论专题
模仿操作：
核心： 使自己的局面一直满足一个性质使它是必胜局面，即寻找平衡状态，中止状态一定满足平衡状态。
\(1.\)满足至少或至多一堆或几堆在模意义下是\(××\)。（与对手的影响和是\(××\)）
Vijos1196 [上下]
\(2.\)满足一堆或几堆或堆之间的奇偶性关系是\(××\)。（跟着对手做）
HDU1079 [中上]
POJ1740 [上下]
\(3.\)构造出一个局面，可以完全跟着对方做。
POJ2484 [上下]
Sg函数：
核心： 递归搜寻Sg函数。
\(1.\)并加入题目性质来优化寻找过程。
POJ2234 [下中]（sg函数等于个数）
\(2.\)记忆化搜索sg函数+剪枝。
POJ2960 [中下]
luogu 3235 [上上]
\(3.\)多局面博弈问题，sg异或值不为0则能赢。
POJ2425 [中中]多局面指各个等价的状态之间互不影响
BZOJ1299[上中]
luogu3185 [上上]类阶梯游戏横着看变成nim游戏（惊了！）
博弈+dp：
核心： 用dp状态存是否能赢，实质上是搜索的优化。
POJ2068 [中中]
luogu2490 [上上]
找规律：
核心：手模小数据。
POJ2505 [上下]
BZOJ2463 [下上]
常见技巧：
\(1.\)关于\(dp\)数组下标建立坐标系，发现单调性或者关于对角线相等等性质。
小题题
\(2.\)找等价问题转换(典型：阶梯游戏)
AGC 002 E
CF794E
\(3.\)平等博弈->等价转换->打表\(sg\)找规律。
\(4.\)找规律：二进制\(0/1\)个数，最高低位\(1\)，最小/大质因子编号，lowbit，\(mod\)某数的余数，循环节（可能起初几项不满足）用记事本骚操作。
\(5.\)找\(sg\)函数：dfs，递推，bitset找mexCF1091H，线段树动态维护。
附：bitset找sg（sg比较小的时候）我们维护\(B[i][j]\)表示所有已处理的状态是否有\(sg\)为\(i\)的向状态\(j\)的转移。令\(u[k]\)表示是否可以取\(k\)个。\(B[i]\)和\(u\)均用\(bitset\)存储，则SG函数的计算以及可以如下方式维护：
B[0] = u;
for (int i = 1; i <= 200000; ++ i){
for (SG[i] = 0; B[SG[i]][i]; ++ SG[i]);
B[SG[i]] |= u<<i;
}
\(6.\)一种状态比另一种状态给自己的当前选择的余地更大，那么若另一种必胜，这一种也必胜，所以可能存在单调性，单调性优化，问题转化成一点。
\(7.\)大力猜平衡状态。
\(8.\)区间\(mex\)：主席树/离线，按\(r\)排序，然后搞一个权值线段树记一下每个数出现的最右边的位置，找一个前缀使得\(min>l\)
\(9.\)找每个人可以保证的的下限，下限和为总值，那么都只能拿到下限。CF388C+黑白染奇偶讨论AGC 026F
\(10.\)大力分类讨论CF 1110 G
分类：
N阶nim： 先手必败当且仅当\(a_1,a_2,a_3\cdots a_m\)的对应二进制位的一的个数和\(mod~(N+1)=0\)
硬币游戏: 把每个位置的起初硬币当作该位置上的硬币个数是偶数还是奇数，取反相当于加一个新的这个位置上的硬币（奇偶性改变），因为每个位置的每个硬币都是独立的所以答案可以\(sg\)异或从而只与奇偶性有关。树上的例题
K倍动态减法的神仙思路：点此进入
阶梯游戏： 一堆物品，选相邻两个从右往左拿>=1个，不能拿就输了，从左往右从0开始标号，等价于奇数阶梯玩Nim[BZOJ1115 上下
威佐夫博弈： 两堆物品，可以在一堆取任意或两堆取任意相同，不能取为输，设局面为\((a_k,b_k)\)，枚举可得\((1,2),(3,5),(4,7),(6,10),(8,13)\cdots\)即\(a_k\)是之前未出现的最小正整数，\(b_k=a_k+k\),这是一个\(beauty\)数列，解得\(a_k\approx \lfloor1.618\times k\rfloor\)。
\(beatty\)数列： 数列\((a_i,b_i)\)递增，每个数只出现一次，递推公式是
