二叉树的性质

Ⅰ 在二叉树的第 i 层至多有 2^i-1 个结点(i >= 1)

　　第一层是根结点，只有 1 个，所以 2^1-1 = 2⁰ = 1 

　　第二层有 2 个， 2^2-1 = 2¹ = 2 

　　第三层有 4 个， 2^3-1 = 2² = 4 

　　第四层有 8 个， 2^4-1 = 2³ = 8 

　　......

　　通过数据归纳法的论证，可以得出二叉树的第 i 层上至多有 2^k-1 个结点( i >= 1 )的结论

 

Ⅱ 深度为 k 的二叉树至多有 2^k-1 个结点(k >= 1)

　　深度为 k 的二叉树

　　如果 k = 1 ，结点数至多为 2¹ -1 = 1 

　　如果 k = 2 ，结点数至多为 2² -1 = 3 

　　如果 k = 3 ，结点数至多为 2³ -1 = 7 

　　如果 k = 4 ，结点数至多为 2⁴ -1 = 15 

　　......

　　通过数据归纳法的论证，可以得出，深度为 k 的二叉树，结点数至多为 2^k-1 

 

Ⅲ 任何一棵二叉树中，如果其叶子结点数为 n₀ ，度为 2 的结点数为 n₂ ，则 n₀ = n₂ + 1

　　一颗二叉树中，除了叶子结点外，剩下的就是度为 1 或 2 的结点了，设 度为 1 的结点数为 n₁ ，则二叉树结点总数为 n = n₀ + n₁ + n₂ 

　　一颗二叉树的分支线总数为结点总数减去 1 (根结点只有分支出去，没有分支进入)， 分支总数代数表达式为 n - 1 = n₁ + 2n₂ 

　　根据结点总数和分支总数可推导出等式 n₀ + n₁ + n₂ - 1 =  n₁ + 2n₂ 

　　最终可推导得出 n₀ = n₂ + 1 

 

Ⅳ 具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 ⌊log₂n⌋ + 1 ( ⌊x⌋ 表示不大于 x 的最大整数)

　　根据二叉树的定义可知，深度为 k 的满二叉树的结点数 n 一定是 2^k - 1 ，因为这是最多的结点数

　　那么对于 n = 2^k - 1 倒推可知满二叉树的度为 k = log₂( n+1) 

　　完全二叉树的结点数一定小于等于同样度数的满二叉树的结点数 2^k - 1 ，但一定多于 2^k-1 - 1 ，即满足 2^k-1 - 1 < n <= 2^k - 1 

　　由于结点 n 是整数，n <= 2^k - 1 意味着 n < 2^k ，n > 2^k-1 - 1 意味着 n >= 2^k-1 ，所以 2^k-1 <= n < 2^k ，不等式两边取对数 k - 1 <= log₂n < k ，而k作为度数也是整数，因此 k = ⌊log₂n⌋ + 1 

 

Ⅴ 具有 n 个结点的完全二叉树(其深度为 ⌊log₂n⌋ + 1 )的结点按层序编号(从第 1 层到第 ⌊log₂n⌋ + 1 层，每层从左到右)，对任一结点 i ( 1 <= i <= n )，有如下性质：

　　1.如果 i = 1 ，则结点 i 是二叉树的根，无双亲；如果 i > 1 ，则双亲是结点 ⌊i / 2⌋ 

　　2.如果 2i > n ，则结点 i 无左孩子(结点 i 为叶子结点)；如果 2i <= n ，则结点 i 左孩子是结点 2i 

　　3.如果 2i + 1 > n ，则结点 i 无右孩子；如果 2i + 1 <= n ，则结点 i 右孩子是结点 2i + 1 

 

Ⅵ 具有 n 个结点的完全二叉树( n > 1 )，从结点 1 到结点 ⌊n / 2⌋ 都是非叶子结点；结点 ⌊n / 2⌋ 可能是根结点，也可能是左孩子，也可能是右孩子；结点 ⌊n / 2⌋ 后面都是叶子结点