圆锥曲线和直线

学习笔记

注：这个目录将就看一下……

此博客为高中选择性必修一内容，慎重选看（）

省流：先苦后甜的妙妙结论

引子

我是一个热爱过程的人，但是很明显我不爱计算

所以我有言曰：

遇到一个很通用的题目，我们要先苦后甜，先把字面的数字用字母换了，再代入计算。

然后我们把目光放到高中选择性必修一第114页（臭）的一道例题：

求直线 \(4x-5y+m=0\) 和椭圆 \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\) 的交点情况（个数）

我寻思着反正要求一些离谱交点，我开始贯彻我的言论，我开始算：

求直线 \(l:Ax+By+C=0\) 和椭圆 \(\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 的交点情况

接下来的分析步骤我们就按照书上的内容来：

可知交点坐标满足：\(\begin{cases}Ax+By+C&=0\\\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}&=1\end{cases}\)

哦对了我们要严谨，所以 \(a,b>0\) 且 （\(A\neq0\) 或 \(B\neq0\)）

我们学习书本借助直线 \(l\) 的方程拿 \(x\) 表示 \(y\)

很明显过程要严谨，所以对于 \(B\)：

1 \(B=0\)

由直线 \(l\) 方程我们有 \(Ax+C=0\)，

如果 \(A\) 也是 \(0\) 那它就不是一个直线的方程了，所以必然有 \(x=-\dfrac{C}{A}\)

由椭圆的横坐标范围是 \(\left[-a,a\right]\)，那么我们讨论 $-\dfrac{C}{A} $ 和 $ \left(-a,a\right)$ 的关系即可

简单讨论可知 \(l\) 和 \(C\) 关系为\(\begin{cases} \text{相交}&-\frac{C}{A} \in \left(-a,a\right)\\ \text{相切}&-\frac{C}{A} = \pm a\\ \text{相离}&-\frac{C}{A} \notin \left[-a,a\right] \end{cases}\)

化简条件后：

\[\text{$l$ 和 $C$ 交点数量为}\begin{cases} \text{2}&C^2 < A^2 a^2\\ \text{1}&C^2 = A^2 a^2\\ \text{0}&C^2 > A^2 a^2 \end{cases}\]

2 \(B\not=0\)

由直线 \(l\) 方程有：\(y=-\dfrac{Ax+C}{B}\)

直接代入椭圆方程可得：\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{\left({\dfrac{Ax+C}{B}}\right)^2}{b^2}=1\)

写好看点得到：\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{(Ax+C)^2}{B^2 b^2}=1\)

小阶段发挥人类吃苦耐劳精神：

\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{A^2 x^2}{B^2 b^2}+\dfrac{2ACx}{B^2 b^2}+\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1=0 \]

\[\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)x^2+\dfrac{2AC}{B^2 b^2}x+\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1=0 \]

我们成功得到了一个一元二次方程，\(l\) 和 \(C\) 的交点个数很明显就是这个方程根的个数。

哦对对对，我们没有证明这是一个一元二次方程：因为还需说明 \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\neq 0\)

额 \(\dfrac{1}{a^2}>0\) 和 \(\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\ge 0\) 解决

所以我们随心所欲套入一元二次方程的根的判别式：

\(\Delta = \left(\dfrac{2AC}{B^2 b^2}\right)^2-4\times\left(\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1\right)\times\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)\)

接下来开始全面发挥人类吃苦耐劳精神（我尽量不跳步骤）：

\(\begin{aligned} \Delta &= \left(\dfrac{2AC}{B^2 b^2}\right)^2-4\left(\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1\right)\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)\\ &= \dfrac{4A^2 C^2}{(B^2 b^2)^2}-4\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)\left(\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1\right)\\ &= \dfrac{4A^2 C^2}{(B^2 b^2)^2}-\dfrac{4C^2}{B^2 b^2}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)+4\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)\\ &= \dfrac{4A^2 C^2}{(B^2 b^2)^2}-\dfrac{4C^2}{B^2 a^2 b^2}-\dfrac{4A^2C^2}{(B^2 b^2)^2}+\left(\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{4A^2}{B^2 b^2}\right)\\ &= \dfrac{4}{a^2}+\dfrac{4A^2}{B^2 b^2}-\dfrac{4C^2}{B^2 a^2 b^2}\\ \end{aligned}\)

好好好到了这一步已经十分公整了

我们知道有：

\[\text{$l$ 和 $\Gamma$ 交点数量为}\begin{cases} \text{2}&\Delta > 0\\ \text{1}&\Delta = 0\\ \text{0}&\Delta < 0 \end{cases}\]

很明显我们只要能够得到 \(\Delta\) 与 \(0\) 的大小关系的等价命题也可以

所以我们可以进一步把这个 \(\Delta\) 弄成更加简单的形式，例如乘或除一个正数

所以给 \(\Delta\) 乘上它的分母 \(B^2 a^2 b^2\) 再除去 \(4\) 后：

\[\Delta' = A^2 a^2 + B^2 b^2 - C^2 \]

写成 \(\Delta'\) 以便区分

可以发现有一种怎么说……很对称的美（确信）

并且如果代入 \(B=0\) 并和前文比较过后，会发现这一结论其实也符合 \(B=0\) 的情况。

综上，我们得到以下结论：

对于任意直线 \(l:Ax+By+C=0\) 和椭圆 \(\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)，都有：

\[\text{$l$ 和 $\Gamma$ 交点数量为}\begin{cases} \text{2}&\Delta' > 0\\ \text{1}&\Delta' = 0\\ \text{0}&\Delta' < 0 \end{cases}\]

其中 \(\Delta' = A^2 a^2 + B^2 b^2 - C^2\)

使用 \(\text{Geogebra}\) 验证

深入

接着由于提前颓废数学不会很多圆锥曲线的二级结论

然后我就寻思不会了呀，然后闲来无事

所以我尝试康康对于双曲线是怎么样的

简单而言就是：

求直线 \(l:Ax+By+C=0\) 和双曲线 \(\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 的交点情况，其中 \(a,b>0\) 且 （\(A\neq0\) 或 \(B\neq0\)）

很明显这个只是双曲线的一种情况（焦点在 \(x\) 轴上），但是我们事后可以利用一些变换（别问，问就是玄学）

1 \(B=0\)

十分明显对于 \(B=0\) 的情况还是和前文一样，只不过要变成：

\(l\) 和 \(\Gamma\) 关系为\(\begin{cases} \text{相交}&-\frac{C}{A} \notin \left(-a,a\right)\\ \text{相切}&-\frac{C}{A} = \pm a\\ \text{相离}&-\frac{C}{A} \in \left[-a,a\right] \end{cases}\)

化简条件后：

\[\text{$l$ 和 $\Gamma$ 交点数量为}\begin{cases} \text{2}&C^2 > A^2 a^2\\ \text{1}&C^2 = A^2 a^2\\ \text{0}&C^2 < A^2 a^2 \end{cases}\]

2 \(B\neq0\)

还是由直线 \(l\) 方程有：\(y=-\dfrac{Ax+C}{B}\)

还是生硬代入得到：\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{\left({\dfrac{Ax+C}{B}}\right)^2}{b^2}=1\)

写好看点得到：\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{(Ax+C)^2}{B^2 b^2}=1\)

照旧化简：

\[\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{A^2 x^2}{B^2 b^2}-\dfrac{2ACx}{B^2 b^2}-\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1=0 \]

\[\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)x^2-\dfrac{2AC}{B^2 b^2}x-\dfrac{C^2}{B^2 b^2}-1=0 \]

我们成功得到了一个一元二次方程

哦不对不对，这个不一定是一个一元二次方程

2.1 ↓

\(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}=\dfrac{2AC}{B^2 b^2}=0\)

很简单啊，条件转化为：\(\begin{cases} B^2 b^2 = A^2 a^2\\ AC=0\\ \end{cases}\)

结果等式变为：\(\dfrac{C^2}{B^2 b^2}+1=\left(\dfrac{C}{Bb}\right)^2+1=0\)

这想必是一个无实数解的方程，那么我们来简化一下条件

由于 \(a,b,B\neq0\)，也就必然有 \(A\neq0\)（由条件的第一个等式）

因此也必然有 \(C=0\)（由条件的第二个等式）

所以条件转化为：\(\begin{cases} \dfrac{A^2}{B^2} = \dfrac{b^2}{a^2} =\left(\dfrac{b}{a}\right)^2\\ \\ C=0\\ \end{cases}\)

所以有 \(-\dfrac AB=\pm\dfrac ba\)

这是啥呀？这是渐近线的斜率呀！

如果这条直线过原点，他的斜率还和渐近线一样，那他就是条渐近线呗，当然没有交点

2.2 ↓

\(\begin{cases} \dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}=0\\ \\ \dfrac{2AC}{B^2 b^2}\neq0\\ \end{cases}\)

很简单啊，条件转化为：\(\begin{cases} B^2 b^2 = A^2 a^2\\ C\neq0\\ \end{cases}\)

结果等式变为：\(-\dfrac{2AC}{B^2 b^2}x=\dfrac{C^2}{B^2 b^2}+1=\dfrac{C^2+B^2 b^2}{B^2 b^2}\)

这是一个一元一次方程，仅有一个解

条件和之前差不多，只是把 \(C=0\) 换成了 \(C\neq 0\)

也就是在说：如果这条直线不过原点，他的斜率还和渐近线一样，那他和双曲线恰有一个交点

2.3 ↓

\(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\neq0\)

所以有 \(A^2a^2\neq B^2b^2\)

自信写出 \(\Delta\)：

\[\Delta=\left(\dfrac{2AC}{B^2 b^2}\right)^2+4\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)\left(\dfrac{C^2}{B^2 b^2}+1\right) \]

自信化简：

\(\begin{aligned} \Delta &=\dfrac{4A^2C^2}{(B^2 b^2)^2}+4\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{A^2}{B^2 b^2}\right)\left(\dfrac{C^2}{B^2 b^2}+1\right)\\ &=\dfrac{4C^2}{a^2B^2b^2}+\dfrac{4}{a^2}-\dfrac{4A^2}{B^2b^2} \end{aligned}\)

同样自信乘上正数简化

\[\Delta'=C^2+B^2b^2-A^2a^2 \]

可以发现 (1) 的情况仍旧是符合 (2.3) 的式子的，可是 (2.1) 和 (2.2) 生硬的不符合（难过

差异在什么地方呢？

对于 (1) 和 (2.3) 都有：
\(l\text{ 和 }\Gamma\text{ 交点数量为}\begin{cases} \text{2}&\Delta' > 0\\ \text{1}&\Delta' = 0\\ \text{0}&\Delta' < 0 \end{cases}\)
其中 \(\Delta'=C^2+B^2b^2-A^2a^2\)，非常的美观啊

可是对于 (2.1) 和 (2.2) 这两个有 \(A^2a^2=B^2b^2\) 条件的特殊情况，我们发现：
\(l\text{ 和 }\Gamma\text{ 交点数量为}\begin{cases} \text{1}&\Delta' > 0\\ \text{0}&\Delta' = 0 \end{cases}\)
其中 \(\Delta'=C^2+B^2b^2-A^2a^2=C^2\)

我们当然不希望这种事情的发生，因此我们尝试寻找一个统一的判别式

我个人认为将 (2.1)(2.2) 的情况中加减更为合理，所以套一个艾弗森记号

如果那位大神知道能否告诉或是提示我一声？感激不尽

对于焦点在 \(y\) 轴上的双曲线捏？后面有进一步解释

进一步的

接下来是什么应该不用我说了

求直线 \(l:Ax+By+C=0\) 和抛物线 \(\Gamma:x^2=2py\) 的交点情况，其中 \(p\neq0\) 且 （\(A\neq0\) 或 \(B\neq0\)）

照例，分类讨论走起

1 \(B=0\)

有 \(x=-\dfrac{C}{A}\)

双曲线的横坐标范围是 \(\mathbb{R}\)，不用分类了(喜)

交点数恒为 \(1\)

2 \(B\not=0\)

由直线 \(l\) 方程有：\(y=-\dfrac{Ax+C}{B}\)

直接代入 \(\Gamma\) 方程可得：\(x^2=2p\cdot {\dfrac{Ax+C}{B}}\)

直接开始化简：

\[x^2-\dfrac{2Ap}{B}x+\dfrac{2Cp}{B}=0 \]

啊哈，终于不用分类讨论啦！

直接写出 \(\Delta\)，

\[\Delta=\left(\dfrac{2Ap}{B}\right)^2-\dfrac{8Cp}{B} \]

化简：

\[\Delta=\dfrac{4A^2p^2-8BCp}{B^2} \]

装修一下：\(\Delta'=A^2p^2-2Bp\cdot C\)

发现(1)情况不满足，可惜

方程的对称

可能有人会说这个抛物线的另一种情况，刚才的双曲线的另一种情况也有疏漏，尝试直观理解

就以双曲线来举例，刚刚我们解决的是：

求直线 \(l:Ax+By+C=0\) 和双曲线 \(\Gamma_1:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 的交点情况，其中 \(a,b>0\) 且 （\(A\neq0\) 或 \(B\neq0\)）

现在我们的问题是：

求直线 \(l:Ax+By+C=0\) 和双曲线 \(\Gamma_2:\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1\) 的交点情况，其中 \(a,b>0\) 且 （\(A\neq0\) 或 \(B\neq0\)）

你动一动脑子发现 \((x,y)\) 和 \((y,x)\) 是个双射，而题目只是问交点数量，所以交换一下 \(x,y\) 的名字并不存在什么问题。

上述第二问转变为：

求直线 \(l:Bx+Ay+C=0\) 和双曲线 \(\Gamma_2:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 的交点情况，其中 \(a,b>0\) 且 （\(A\neq0\) 或 \(B\neq0\)）

我想你已经会了，对于抛物线，也是这个道理

哦，刚刚讨论抛物线的时候可没有给 \(p\) 限制大于或者小于 \(0\)，所以是适用于两种图像的

仍旧存在的问题

我们尝试统一上述冲突的地方：

以双曲线情况举例，我们希望有一个满足条件的函数 \(\delta=f(A,B,C,a,b)\) 能够满足：

\(\Large\forall \normalsize A,B,C,a,b\in \mathbb{R}\ \bigwedge\ (A,B)\neq(0,0)\ \bigwedge\ a,b\neq 0,\)
\(\begin{cases} \delta=0 &A^2a^2\neq B^2b^2 \bigwedge \Delta=0\\ \delta\Delta>0 &A^2a^2\neq B^2b^2 \bigwedge \Delta\neq0\\ \delta=0 &A^2a^2=B^2b^2\bigwedge C\neq 0\\ \delta<0 &A^2a^2=B^2b^2\bigwedge C=0\\ \end{cases}\)

这个 \(\delta\) 函数里面如果可以用艾弗森记号来表示的话，应该是这样的：

\[\delta=\Delta-[A^2a^2=B^2b^2](\Delta+[C=0]) \]

but谁有事没事在式子里面套式子和艾弗森记号的杂交式子的（

所以放在最后求教

新方向？

这个东西拿给devin（老师）看了（悲）然后被 D (?)

原因有一部分是没提到过准线（但是有一说一我也没这么深入），然后爬去学准线方程了

希望有用（？）