物体的碰撞

最近刚刚上完动量守恒定律，上了碰撞

哈哈哈绷不住啦我学过3b1b小妙招

引入

我们都知道这个碰撞是分类的，有：完全弹性，完全非弹性和非完全非弹性

区别在于动能的变化，但是在中间的过程中动量是恒定的，那么：考虑对于动能损失比例为 $\eta$ 的碰撞，已知两个物块的质量 $m_1,m_2$ 以及初始速度 $v_1,v_2$，能否快速求得它们碰撞后的速度呢？

因为动量可以分解，此处只考虑一维情况的碰撞

巧妙的转化

我们都知道动能定理和动量定理是啥样的：在整个过程中有：

$$\begin{aligned} \dfrac12m_1v_1^2+\dfrac12m_2v_2^2=\text{Const}_1\\ m_1v_1+m_2v_2=\text{Const}_2 \end{aligned}$$

难受，想把两个东西联系到一起——而知名Youtuber 数学区UP主 $\text{3Blue1Brown}$ 教会了我们一个小妙招
考虑一个平面直角坐标系，其中满足：$x=v_1\sqrt{m_1},y=v_2\sqrt{m_2}$，如图：

我们考虑在这个坐标系上的两个定理长什么样
嗯，方程对应曲线嘛，就推推：

$\begin{aligned} &\dfrac{1}{2} m_1 v_1^2 + \dfrac12m_2v_2^2=\text{Const}_1\\ \iff&x^2+y^2=2\text{Const}_1\\ &C_1\leftarrow 2\text{Const}_1\\ &m_1v_1+m_2v_2=\text{Const}_2\\ \iff&\sqrt{m_1}x+\sqrt{m_2}y=\text{Const}_2\\ \iff&y=-\dfrac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{m_2}}x+\dfrac{\text{Const}_2}{\sqrt{m_2}}\\ &C_2\leftarrow \dfrac{\text{Const}_2}{\sqrt{m_2}} \end{aligned}$

啊？一个固定斜率的直线和一个圆？完了？
是的，完了。

弹性碰撞

霍霍，圆的半径还固定了，皆大欢喜
直接根据已知数据把一开始的状态点点出来，下图中是 $A$，
然后再把直线和圆画出来，如图：

还是蛮简单的（确信）

完全非弹性碰撞

恩，有点难了，此时容易发现。。。