竞赛图学习笔记

大概是退役前最后一篇学习笔记

哦不对我已经退役了

 

今儿学了个竞赛图，感觉很有意思，关键是这个东西考得少，万一二轮就出了还让我做出来了不就翻盘了

所以写一篇学习笔记记录一下

 

首先要整明白的是竞赛图的性质，这个是做题目的基础

1.竞赛图缩点之后会形成一条链

2.竞赛图的每个大于1的强连通分量都存在一条哈密尔顿回路

3.竞赛图存在一条哈密尔顿路径

4.竞赛图要么是拓扑图，要么一定存在三元环

5.竞赛图的积分定理（等有用到的时候再看吧）

 

因为竞赛图目前能找到的题目不多，而且大多都是计数类，就都放在下面当积累套路了

 

1.竞赛图的期望三元环个数

给你一张竞赛图，$e$条边的方向已经确定，求三元环的期望个数

$(n\le 10^5,e \le 10^6)$

首先引入一个竞赛图的线性容斥三元环计数的方法，就是对于一个点$i$，如果它连向任意两点$x,y$，那么$(i,x,y)$就不能组成一个三元环。$x,y$不需要枚举，直接用度数去计算即可。然后用$C(n,3)$减去这些无法构成三元环的三元组即可。对于这道题目，当然还是按照这个思路去做。只需要考虑剩余的没定向的边的方向，然后统计答案即可。