[BZOJ3517]翻硬币

题目

【描述】
有一个\(n\)行\(n\)列的棋盘，每个格子上都有一个硬币，且\(n\)为偶数。每个硬币要么是正面朝上，要么是反面朝上。每次操作你可以选定一个格子\((x,y)\)，然后将第\(x\)行和第\(y\)列的所有硬币都翻面。求将所有硬币都变成同一个面最少需要的操作数。

【数据规模】
对于100%的数据，\(n ≤ 1,000\)。

题解

首先，每个硬币都最多只会翻1次或者一次都不翻(根据贪心，翻2次及以上跟翻该次数模2的情况相同)

选定一个格子，同一列和同一行的硬币均翻转，即在第\(i\)行第\(j\)列的硬币会受第\(i\)行所有硬币和第\(j\)列所有硬币翻转的影响。题目询问翻成同一个面所需的代价，不妨先讨论都翻成0面的情况。

可列出方程：

\[(A \text{代表硬币的翻转情况})\quad(B \text{代表硬币的初始状态数组})\quad (\oplus \text{为异或}) \]

\[A_{1,j} \oplus A_{2,j} \oplus ... \oplus A_{n-1,j} \oplus A_{n,j} \oplus A_{i,1} \oplus A_{i,2} \oplus ... \oplus A_{i,j-1} \oplus A_{i,j+1} \oplus ... \oplus A_{i,n-1} \oplus A_{i,n} \oplus B_{i,j}= 0 \]

根据异或的性质，得

\[A_{1,j} \oplus A_{2,j} \oplus ... \oplus A_{n-1,j} \oplus A_{n,j} \oplus A_{i,1} \oplus A_{i,2} \oplus ... \oplus A_{i,j-1} \oplus A_{i,j+1} \oplus ... \oplus A_{i,n-1} \oplus A_{i,n} = B_{i,j} \]

这个方程看起来十分冗长，但是，当我们把\(n \times n\)的棋盘每一个都列出如下的方程后，将一个方程与同列及同行所有的方程都合并时，由于n为偶数，所有的

都是偶数个，于是它们异或变成了0，只有\(A_{i,j}\)是奇数个，方程变成了这样：

\[A_{i,j}=B_{1,j} \oplus B_{2,j} \oplus ... \oplus B_{n-1,j} \oplus B_{n,j} \oplus B_{i,1} \oplus B_{i,2} \oplus ... \oplus B_{i,j-1} \oplus B_{i,j+1} \oplus ... \oplus B_{i,n-1} \oplus B_{i,n} \]

\(B_{i,j}\)是题目中给出的数据，我们就可以很方便的利用异或前缀和来算出是题目中给出的数据，我们就可以很方便的利用异或前缀和来算出\(A_{i,j}\)的值了，答案即为所有的值了，答案即为所有\(A_{i,j}\)

相加。

还有一种都翻成1面的情况，容易发现这种情况下的答案为翻成面情况的答案$ n\times n -\text{翻成0面情况的答案}$ (即让每个\(A_{i,j}\)都异或1),我们在计算了0的情况后只需要比较一下这两个数的大小，输出较小的那个就可以了。

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int MAXN=1010;
char str[MAXN];
int a[MAXN][MAXN];
int hang[MAXN],lie[MAXN];
int main() {
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i) {
		scanf("%s",str+1);
		for(int j=1;j<=n;++j) {
			a[i][j]=str[j]-'0';
			hang[i]^=a[i][j];
			lie[j]^=a[i][j];
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;++i) {
		for(int j=1;j<=n;++j) {
			ans+=hang[i]^lie[j]^a[i][j];
		}
	}
	printf("%d",std::min(ans,n*n-ans));
	return 0;
}