快速求出n!的质因数的个数
一般做组合数的题目都要进行质因数的分解,我们一般是for循环对每个数进行质因数分解,大多数情况都不会超时,但极少数的情况下,题目会不允许这样的做法,所以我们需要学会一种更快的方法来求质因数。
我们一般的方法是对每个数进行质因数分解:
inline void calc(int x,int val) { int xx=x; for(int i=2;i*i<=xx;i++) { while(x%i==0)//不断进行除法,找出多少的当前的质数 { c[i]+=val;x/=i; } if(x==1)break; } if(x>1)c[x]+=val;//如果剩下的数也是个质数,那么这个质数也要加上val }
但如果想要更快的分解,我们可以直接对n!进行分解:
首先先进行素数筛选,得出素数表
然后进行如下操作:
1 inline long long calc(int n,int x)//x表示想要求的质数,函数的作用是求出x的个数,n表示要求的n!(例:n=8表示8!) 2 { long long cnt=0; 3 for(long long i=x;i<=n;i*=x)//为了防止i的溢出,所以我们要开long long 4 {cnt+=n/i; 5 } 6 return cnt; 7 }
我们来一个样例说明一下:
1 2 3 4 5 6 7 8 我们求得在8!中2的个数
1 1 1 1 首先我们先计算出2的倍数的个数:8/2=4
1 1 其次我们计算出4的倍数的个数: 8/4=2(上面一个式子求出了第一层,现在求第二层)
1 最后我们解出第三层的2的个数: 8/8=1
我们把4+2+1=7,所以一共7个2出现了。
即:cnt(x)=[n/(x^1)]+[n/(x^2)]+[n/(x^3)]+...(直到x的次方大于n)
到这里我们可以发现:我们平时求的方法是一列一列求的(就是每一个数算一遍),而这个方法我们每一行每一行的求,虽然效果一样,但求起来速度很快。值得学习。
故做法:
1.先把素数表打好
2.for循环把小于n的每个质数进行一次运算,用数组记录
3.结束
非常快。
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