转载：Candy? 在线性时间内求出素数与欧拉函数

 

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2818: Gcd

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Description

给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.

 

1<=N<=10^7

---

 

uva上做过gcd(x,y)=1的题

gcd(x,y)=p ---> gcd(x/p,y/p)=1

每个质数做一遍行了

答案是欧拉函数的前缀和*2-质数的个数，因为(p,p)算一组

朴素的两个筛法写下来要5000ms

 

然后就学了一个新技能：欧拉筛法同时求欧拉函数

 

 

我们要证明：

 

若p是x的约数，则Φ(x*p)=Φ(x)*p.
若p不是x的约数，则Φ(x*p)=Φ(x)*(p-1).  

 

欧拉函数是一个积性函数，且phi(p)=p-1 p is prime

若f(n)为数论函数，且f(1)=1，对于互质的正整数p,q有f(p⋅q)=f(p)⋅f(q)，则称其为积性函数。

那么Φ(x*p)=Φ(x)*(p-1)

 

Φ(p^k)=p^k-p^(k-1)=(p-1)*p^(k-1)
证明：

令n=p^k,小于n的正整数数共有n-1即(p^k-1)个,其中不与p互质的数共[p^(k-1)-1]个(除以p然后下取整.....)
所以Φ(p^k)=(p^k-1)-(p^(k-1)-1)=p^k-p^(k-1) 得证。//定义

 

Φ(p^k)=(p-1)*p^(k-1)=(p-1)*p^(k-2)*p
Φ(p^(k-1))=(p-1)*p^(k-2)
所以当k>1时，Φ(p^k)=Φ(p^(k-1))*p

得证

 

复习欧拉筛法：对于任意一个合数，拆成最小质数*某个数字的形式，每个数字只会被筛选一次

2016的国家队论文里有一个语言描述比较好，复制不下来....

那么我们遇到一个数i，如果是素数phi[i]=i-1

然后在枚举i*p[j]时，phi[i]已经知道了，由以上两个式子就可以算出phi[i*p[j]]的值了

 

更一般的来说，就是因为线性筛的过程中得到了每个数的最小质因子，利用了积性函数的性质

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e7+5;
int n;
bool vis[N];
int p[N],m=0;
ll s[N],ans,phi[N];
void sieveprime(){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]) p[++m]=i;
        for(int j=1;j<=m&&i*p[j]<=n;j++){
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) break;
        }
    }
}
void sievephi(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)if(!phi[i]){
        for(int j=i;j<=n;j+=i){
            if(!phi[j]) phi[j]=j;
            phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+phi[i];
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    sieveprime();
    sievephi();
    for(int i=1;i<=m;i++) ans+=s[n/p[i]];
    printf("%lld",ans*2-m);
}

朴素

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e7+5;
int n;
bool vis[N];
int p[N],m=0;
ll s[N],ans,phi[N];
void sieve(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]){
            p[++m]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=m&&i*p[j]<=n;j++){
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0){
                phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
                break;
            }
            phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+phi[i];
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    sieve();
    for(int i=1;i<=m;i++) ans+=s[n/p[i]];
    printf("%lld",ans*2-m);
}