计算几何公式集锦

1---计算多边形重心方法：
（1）划分多边形为三角形：
以多边形的一个顶点V为源点（V可取输入的第一个顶点），作连结V与所有非相邻顶点的线段，即将原N边形或分为（N-2）个三角形；
（2）求每个三角形的重心和面积：
设某个三角形的重心为G（cx，cy），顶点坐标分别为A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），则有cx = (x1 + x2 + x3)/3.同理求得cy。求面积的方法是s =  ( (x2 - x1) * (y3 - y1) - (x3 - x1) * (y2 - y1) ) / 2，当A1,A2,A3顺时针排列时取-，否则取正（此定理不证）。事实上，在求每个三角形时不需要辨别正负，之后有方法抵消负号，见下述。
（3）求原多边形的重心：
公式：cx = (∑ cx[i]*s[i]) / ∑s[i];  cy = (∑ cy[i]*s[i] ) / ∑s[i];其中（cx[i], cy[i]）, s[i]分别是所划分的第i个三角形的重心坐标和面积。由题“ connect the points in the given order”知每个s[i]的正负号相同，故而∑ cx[i]*s[i]能与∑s[i]消号，所以根本不需要在第（2）步判断每个s[i]的正负。另外，在（2）中求每个重心坐标时要除以3，实际上不需要在求每个三角形坐标时都除以3，只需要求出∑ cx[i]*s[i]后一次性除以3即可。即是多边形重心坐标变为：cx = (∑ cx[i]*s[i]) / （3*∑s[i]）;  cy = (∑ cy[i]*s[i] ) / （3*∑s[i]）;


总结：
每个三角形重心：cx = (x1 + x2 + x3)/3；cy同理。
每个三角形面积：s =  ( (x2 - x1) * (y3 - y1) - (x3 - x1) * (y2 - y1) ) / 2；
多边形重心：cx = (∑ cx[i]*s[i]) / （3*∑s[i]）;  cy = (∑ cy[i]*s[i] ) / （3*∑s[i]）;

2---任意四面体体积公式，欧拉四面体体积公式



double fourarea(double p,double q,double r,double n,double m,double l)//传入6条边 
{
    double S,M[3][3];
    M[0][0] = p*p;
    M[1][1] = q*q;
    M[2][2] = r*r;
    M[0][1] = M[1][0] = (p*p+q*q-n*n)/2;
    M[0][2] = M[2][0] = (p*p+r*r-m*m)/2;
    M[1][2] = M[2][1] = (q*q+r*r-l*l)/2;
    S = M[0][0]*M[1][1]*M[2][2] + M[0][1]*M[1][2]*M[2][0] + M[0][2]*M[1][0]*M[2][1]
        - M[0][2]*M[1][1]*M[2][0] - M[0][1]*M[1][0]*M[2][2] - M[0][0]*M[1][2]*M[2][1];
    S=sqrt(S/36);
    return S;
}