[NOI2010]能量采集

【题目分析】

算法一：

位于(x,y)的点产生的分值是：Gcd(x,y)；问题转换成求Gcd(x,y)。答案为Σ(gcd(x,y)*2-1)，枚举x和y即可以得到80分。时间复杂度O(n^2logn)

算法二：

考虑Gcd(x,y)=D，D<=10^5范围不是很大，那么我们倒过来考虑，我们求解满足Gcd(x,y)=d的(x,y)的个数。

有Σ(gcd(x,y)*2-1)=Σ(F[d]*(d*2-1));其中F[d]表示满足Gcd(x,y)=d的(x,y)的个数。

考虑以d为公约数的(x,y)的个数g[d]，显然有g[d]=[n/d]*[m/d];

根据容斥原理有：

f[d]=g[d]-Σ(f[d*i])  (2<=i<=[min(n,m)/d])；

这样我们只需要倒过来从min(n,m)反推到1求解即可。时间复杂度O(nlogn)，预计得分100分。

时间复杂度证明：

设L=min(n,m);

Time=Σ(L/i)  (1<=i<=L);

Time=LΣ(1/i)<=Lln(L)<=Llog(2,L)

【Code】：

var
	f:array[0..100001]of int64;
	ans:int64; n,m,i,j:longint;
function min(x,y:longint):longint;
	begin
		if x<y then exit(x); exit(y);
	end;
begin
	readln(n,m);
	for i:=min(n,m) downto 1 do begin
		f[i]:=int64(n div i)*int64(m div i);
		for j:=2 to n div i do dec(f[i],f[i*j]);
		inc(ans,f[i]*(2*i-1));
	end;
	writeln(ans);
end.