bzoj 4518: [Sdoi2016]征途 斜率优化dp

题目大意:

给你一个长为n的序列,要求将这个序列分成m段,使得每段内数字之和构成的方差最小.输出这个最小方差与\(m^2\)的乘积

题解:

如果我们设\(s_i\)表示值,\(sum\)表示所有值的和,那么我们有

\[ans = \frac{\sum_{i=1}^m(s_i - \frac{sum}{m})^2}{m}*m^2 \]

化简得\(ans = m*\sum_{i=1}^ms_i^2 - sum^2\)
所以我们dp一下求前面的式子:
设\(f[i][j]\)表示将前i个数划分成了j段的各段平方和最小值.
我们令\(S_i = \sum_{k=1}^is_i\)即前缀和
于是可以列出dp方程:\(f[i][j] = min\{f[k][j-1] + (S_i - S_k)^2\}\)
所以我们可以分层dp,然后用斜率优化来搞一搞
这样就\(O(nm)\)了 ~~

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline void read(ll &x){
    x=0;char ch;bool flag = false;
    while(ch=getchar(),ch<'!');if(ch == '-') ch=getchar(),flag = true;
    while(x=10*x+ch-'0',ch=getchar(),ch>'!');if(flag) x=-x;
}
const ll maxn = 3010;
ll f[maxn],s[maxn],tmp[maxn];
ll q[maxn],l,r;
#define g(x) (tmp[x] + s[x]*s[x])
inline double T(ll p,ll q){
    return (double)(g(p) - g(q))/(double)(s[p] - s[q]);
}
ll a[maxn];
int main(){
    ll n,k;read(n);read(k);
    ll sum = 0;
    for(ll i=1;i<=n;++i){
        read(a[i]);sum += a[i];
        s[i] = s[i-1] + a[i];
        tmp[i] = s[i]*s[i];
    }
    for(ll j=2;j<=k;++j){
        l = 0;r = -1;q[++r] = j-1;
        for(ll i=j;i<=n;++i){
            while(l < r && T(q[l],q[l+1]) < 2.0*s[i]) ++ l;
            f[i] = tmp[q[l]] + (s[i] - s[q[l]])*(s[i] - s[q[l]]);
            while(l < r && T(q[r-1],q[r]) > T(q[r],i)) -- r;
            q[++r] = i;
        }memcpy(tmp,f,sizeof f);
    }printf("%lld\n",f[n]*k - sum*sum); getchar();getchar();
    return 0;
}