省赛训练小记

记录一下这一个周做的一些题

• HDU7146 枚举不在同一斜线/横线/竖线的两个点，然后暴力枚举这两个点所在直线的类型，求出交点就是中心点，判断是否合法即可

• HDU7175 先跑最短路，得到可能在最短路图上的边构成了一个新图，由于有 0 边因此可能有环，缩点之后在 DAG 上 dp 即可

• CF1746C & CF1656D 签到

• HDU7214 枚举这个数字有多少次出现，然后只需要求出此时的方案数。设 \(dp_{i,j,0/1,0/1}\) 代表考虑到第 \(i\) 位，当前这个数字出现了 \(j\) 次，上界/前导 0，转移是个大讨论

• GYM103428M 将输赢放到网格上，输往上，赢往右，那么考虑对于每一个输的时候记一个 \(w_i\) 表示这之前连续赢了几次。问题转化为 \(w_1+..+w_{n-m+1}=m\)，且 \(\max{w_i}=k\)，容斥一下转化为 \(\max{w_i}\leq k\)，然后是一个经典子问题：\(y_1+..+y_n=m, 0\leq y_i\leq k\) 即 \((y_1+1)+..+(y_n+1)=(m+n), 1\leq y_i \leq k+1\)， 问方案数，这个子问题考虑容斥，每次枚举有 \(p\) 个位置超了 \(k+1\)，可以先填一个 \(k+1\) 然后和没事一样继续填数，这样就保证了一定是超了的。显然容斥之后得到了这个子问题的答案：\(\sum_{i=0}^n (-1)^i\times C(n,i)\times C(m+n-1-i*(k+1),n-1)\)，带回即可

• LOJ10159 换根 dp 即可，每次维护以某个点为根的最大/次大深度即可

• HDU7203 签到题，注意 \(a\) 是固定的，拿个 map 存即可

• GYM102361D 签到题

• GYM104337C 如果是 \(n\times n\) 的话显然答案就是 \(n\)，否则剩下的 \(k\) 列（行同理）经观察发现这块就是 \(ceil(k/2)\)

• GYM104337F 考虑 | 两端的回文半径构造即可

• GYM104337H 将 \(deg_i\) 出现次数根号分治，小的部分用桶，大的暴力，小和大的连接用桶+暴力

• GYM104337I 即求最小的 \(n\)，使得 \(lcm(p_1,...,p_m)|(1+..+n)\)，首先可以用质因数分解求出 \(lcm\)，然后有 \(2\times lcm|(n\times (n+1))\)，由\(n,n+1\) 互质可以发现其包含的质因数都是无交集的，而 1e18 最多有 15 个质因子，因此我们可以枚举哪些质因子对应的是 \(n\) 的，剩下的必然是 \(n+1\) 的。具体的，假设：
  \(n\equiv 0(\mod q_1^{t_1})...\)
  \(n\equiv 0(\mod q_k^{t_k})\)
  同时，有
  \(n\equiv -1(\mod r_1^{s_1})...\)
  \(n\equiv -1(\mod r_p^{s_p})\)
  其中 \(lcm=q_1^{t_1}\times ... \times q_k^{t_k} \times r_1^{s_1} \times... r_p^{s_p}\)
  则显然有 \(K\times q_1^{t_1}\times .. \times q_k^{t_k} = n\)，和 \(I \times r_1^{s_1}\times .. \times r_p^{s_p}=(n+1)\)
  化简得 \(I\times ( r_1^{s_1}\times .. \times r_p^{s_p}) - K\times (q_1^{t_1}\times .. \times q_k^{t_k})=1\)，将 \(I,K\) 作为变量用扩欧即可

• GYM104337J 贪心+优先队列

• GYM104337K dp推导+数学归纳法可得答案是 \((\frac{m-i}{m-1})^n\)

• GYM104337M 签到题

• HDU6235 签到题

• HDU6240 分数规划首先二分答案，转化为 \(A_i-T\times B_i \geq 0\) 的问题，首先将所有小于 0 的部分都加上，因为加上之后答案肯定不劣。然后考虑按照右端点从小到大扫，做 dp，设 \(dp_i\) 表示考虑到第 \(i\) 个时刻的结果，那么对于当前的 \([l,r], a,b\) 来说，答案肯定是 \(min{dp[l-1]..dp[r]}+(a-T\times b)\) 用线段树/树状数组维护即可

• HDU6231 考虑二分第 \(M\) 大的数 \(p\)，那么如果这个数是第 \(M\) 大，令 \(b_i = [a_i\geq p]\)，则能推出 \(sum(b[l..r]) \geq k\) 的区间个数不会小于 \(M\) 个，用 two-pointers 解决，注意 \(M\) 可能会爆 int

• HDU6230 先用 manacher 求出每个点的回文半径，注意到题目给的条件实际上就是 \(i\) 与 \(j\) 为中心的回文串相交且交到 \(i+1\) 处。考虑倒序扫一遍，每次扫到 \(j\) 为中心的回文串时，就将 \(j-R[j]+1\) 加上1，每次只需要统计 \(1..i\) 中有多少个 1，就代表了能和多少个回文串构成题目所求的回文串，用树状数组维护这个过程

• HDU6241 二分答案，那么第二个条件可以变成子树内的特殊点应该 <=，可以树形 dp 记一下每次的最小值 & 最大值，然后和这个点对应的限制条件比一下。注意要判一下总共选的个数区间是否包含二分时的答案

• HDU6242 傻逼题。每次随机三个点，由于题目中保证了存在圆使得包含一半结点，随机次数不会很多。被精度卡爆，不能开 long double，eps 要开到 1e-3.....