对 sosdp 的一些理解

sosdp 可以做的题目：对子集/超集的 dp，这里对子集相关的部分做一下分析

参考资料
设 \(f[mask][i]\) 表示从低到高考虑到 \(mask\) 的第 \(i\) 位（从 0 开始算），而且这 \(i+1\) 位都是 \(mask\) 的子集并且第 \(i+1\) 位及以上都和 \(mask\) 完全相同时的和
那么只需要对 \(mask\) 的第 \(i\) 位进行分析来转移

• 该位为 0，那么显然这一位只能取 0，也就是说 \(f[mask][i] \leftarrow f[mask][i-1]\)
• 该位为 1，那么这一位可以取 0/1 ，\(f[mask][i] \leftarrow \left\{\begin{matrix} f[mask][i-1]\\ f[mask \oplus 2^i][i-1] \end{matrix}\right.\)

代码如：

for(int mask = 0; mask < (1<<N); ++mask){
	dp[mask][-1] = A[mask];	
	for(int i = 0;i < N; ++i){
		if(mask & (1<<i))
			dp[mask][i] = dp[mask][i-1] + dp[mask^(1<<i)][i-1];
		else
			dp[mask][i] = dp[mask][i-1];
	}
	F[mask] = dp[mask][N-1];
}

滚存一下就得到了常见的写法：

for(int i = 0; i<(1<<N); ++i)
	F[i] = A[i];
for(int i = 0;i < N; ++i) for(int mask = 0; mask < (1<<N); ++mask){
	if(mask & (1<<i))
		F[mask] += F[mask^(1<<i)];
}

时间复杂度 \(O(n2^n)\)