洛谷P3516 [POI2011] PRZ-Shift
题意
有一个排列 \(a\)，你可以执行两种操作：
- A：将最后一个数移到最前面
- B：将第三个数移到最前面
构造一组操作序列将其变为递增排列，输出形如 5a 2b ... 表示执行 \(5\) 次 A 操作再执行 \(2\) 次 B 操作。
思路
很有意思的构造。仔细思考，操作 A 使我们能将原排列变为它的任何一个循环同构[1]，于是配合操作 B，我们就可以将任意一个数（除最前面两个数）向前移动两步。具体的方法就是假设我们想移的数位置为 \(pos\)，我们通过操作 A 将 \((pos-2,pos-1,pos)\) 移到最前面，经过一次操作 B 变为 \((pos,pos-2,pos-1)\)，然后再通过操作 A 移回去。
到这里我们已经可以处理所有长度为偶数的移动了，那么奇数呢？我们会发现，假设连续执行两次操作 B，我们就可以将任意一个数（除第一个和最后一个数）向前移动一步。具体还是仿照之前那样将 \((pos-1,pos,pos+1)\) 移到最前面，执行两次 B，就会变成 \((pos,pos+1,pos-1)\)，再移回去。
有个问题，移动之后 \(pos-1\) 和 \(pos+1\) 的相对顺序乱了，但这不要紧，我们考虑从小到大 \(1,2,\dots,n\) 依次确定每个数的位置，我们只要确保每次操作不影响小于 \(a[pos]\) 的数就行，而当我们需要 \(pos\) 和 \(pos-1\) 交换位置时，说明 \(a[pos-1]\) 肯定是大于 \(a[pos]\) 的，因此这不影响。
到了最后两个数时，会有两种情况，第一种是 \(a[n-1]=n-1,a[n]=n\)，说明排序好了；另外一种是 \(a[n-1]=n,a[n]=n-1\)，但这个时候我们无法用之前的办法来移动一步，因为此时可以动的数少于 \(3\) 个，此时应该用移动两步的方法将 \(n\) 移到最前面，再用 \(n-1\) 次操作 A 将后面的移到前面来，完成排序；但如果 \(n\) 前面有奇数个数，则无法用移动两步的方法移到最前面，说明无解。
代码
不要忘了特判 \(n\leq 2\) 的情况。
另外注意操作 A 次数要模 \(n\)，操作 B 次数要模 \(3\)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
const int MAXN=2e3+5;
int n,a[MAXN];
vector<pii>opt,ans;
inline void shift1(int pos){
assert(2<=pos && pos<=n-1);
int prelen=pos-2;
if(prelen>0) opt.emplace_back(1,n-prelen);
opt.emplace_back(2,2);
if(prelen>0) opt.emplace_back(1,prelen);
int x=a[pos-1],y=a[pos],z=a[pos+1];
a[pos-1]=y;a[pos]=z;a[pos+1]=x;
}
inline void shift2(int pos){
assert(3<=pos);
int prelen=pos-3;
if(prelen>0) opt.emplace_back(1,n-prelen);
opt.emplace_back(2,1);
if(prelen>0) opt.emplace_back(1,prelen);
int x=a[pos-2],y=a[pos-1],z=a[pos];
a[pos-2]=z;a[pos-1]=x;a[pos]=y;
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
}
if(n==1){
puts("0");
return 0;
}
if(n==2){
if(a[1]==1 && a[2]==2) puts("0");
else puts("1\n1a");
return 0;
}
int pos;
for(int num=1;num<=n-2;num++){
for(int i=1;i<=n;i++)
if(a[i]==num){pos=i;break;}
assert(pos>=num);
if(pos==num) continue;
while(pos-num>=2){
shift2(pos);
pos-=2;
}
if(pos>num){
shift1(pos);
pos-=1;
}
assert(pos==num);
}
if(a[n-1]==n){
pos=n-1;
if((pos-1)%2==1){
puts("NIE DA SIE");
return 0;
}
else{
while(pos!=1){
shift2(pos);
pos-=2;
}
opt.emplace_back(1,n-1);
}
}
for(auto it:opt){
if(ans.empty() || ans.back().first!=it.first) ans.push_back(it);
else ans.back().second+=it.second;
if(ans.back().first==1 && ans.back().second>=n){
ans.back().second%=n;
if(ans.back().second==0) ans.pop_back();
}
else if(ans.back().first==2 && ans.back().second>=3){
ans.back().second%=3;
if(ans.back().second==0) ans.pop_back();
}
}
cout<<ans.size()<<endl;
for(auto it:ans){
cout<<it.second<<(it.first==1?'a':'b')<<' ';
}
return 0;
}
循环同构：将原序列中间某处断开，前面移到后面或后面移到前面得到的新序列。 ↩︎
