洛谷P3523 [POI2011] DYN-Dynamite
前言
本来一个很直观的题面，非要搞形式化题意反而使题意变得非常迷惑。
题意
有一栋树形建筑，其中有一些点摆放了炸弹，树边上都摆放了引信，引信的燃烧时间为 \(1\) 秒 \(/\) 边，现在你要选择 \(m\) 个点同时点燃引信（起爆），则显然炸弹被引爆的时间为到离它最近的起爆处的距离，请你求出所有炸弹爆炸所需的最短时间。
思路
首先最大值最小肯定是二分，check(mid) 就是求至少需要同时在多少点起爆才能做到 \(mid\) 秒内所有炸弹引爆，如果这个值大于 \(m\) 则说明时间不够，小于 \(m\) 说明时间还可以更短。当然 check 不只有这一种，但个人认为这是相对容易的方式。
那么可以考虑树形 dp（严格来讲是贪心），记 \(f[x][0]\) 为 \(x\) 子树中离 \(x\) 最远的还不能被引爆的炸弹距离，\(f[x][1]\) 为 \(x\) 子树中离 \(x\) 最近的起爆点距离。
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从儿子转移到父亲是容易的，直接 \(f[u][0]=\max\{f[v][0\}+1\)，\(f[u][1]=\min\{f[v][1]\}+1\)。
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如果 \(u\) 自己就是炸弹，那么更新 \(f[u][0]\)。
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如果 \(f[u][0]+f[u][1]\leq mid\)，说明 \(u\) 子树中的某个起爆点可以在 \(mid\) 秒内，通过经过 \(u\) 的引信引爆 \(u\) 子树中最远的炸弹，那既然最远的都能引爆，说明 \(u\) 子树中所有的炸弹都能被引爆，于是 \(f[u][0]=-\infin\)。
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如果离 \(u\) 最远的炸弹距离等于 \(mid\) 了，那么就必须在 \(u\) 设置起爆点，更新 \(f[u][0]\)，\(f[u][1]\)。
这样贪心一定是优的，因为我们每个炸弹都是拖到实在不能再拖的时候才起爆的。并且局部最优导致整体最优：子树内起爆点越靠“上”，则对于子树外的炸弹只会更有好处。
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define getmax(x,y) x=max(x,y)
#define getmin(x,y) x=min(x,y)
#define getmid int mid=(l+r)/2
using namespace std;
#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar __getchar
inline char __getchar(){
static char ch[1<<20],*l,*r;
return (l==r&&(r=(l=ch)+fread(ch,1,1<<20,stdin),l==r))?EOF:*l++;
}
#endif
template<class T>inline void rd(T &x){
T res=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1; ch=getchar();}
while('0'<=ch && ch<='9'){res=res*10+ch-'0';ch=getchar();}
x=res*f;
}
template<class T>inline void wt(T x,char endch='\0'){
static char wtbuff[20];
static int wtptr;
if(x==0){
putchar('0');
}
else{
if(x<0){x=-x;putchar('-');}
wtptr=0;
while(x){wtbuff[wtptr++]=x%10+'0';x/=10;}
while(wtptr--) putchar(wtbuff[wtptr]);
}
if(endch!='\0') putchar(endch);
}
const int MAXN=300005,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,f[MAXN][2],cnt,head[MAXN],ecnt=0;
bitset<MAXN>charge;
struct EDGE{
int v,nxt;
}e[MAXN<<1];
inline void add(const int& u,const int& v){
e[++ecnt].v=v;
e[ecnt].nxt=head[u];
head[u]=ecnt;
}
void dfs(int x,int fa,int val){
f[x][0]=-INF,f[x][1]=INF;
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
int it=e[i].v;
if(it==fa) continue;
dfs(it,x,val);
getmax(f[x][0],f[it][0]+1);
getmin(f[x][1],f[it][1]+1);
}
if(charge[x]) getmax(f[x][0],0);
if(f[x][0]+f[x][1]<=val) f[x][0]=-INF;
if(f[x][0]==val){
cnt++;
f[x][0]=-INF;f[x][1]=0;
}
}
inline bool check(int x){
cnt=0;
dfs(1,0,x);
cnt+=(f[1][0]>=0);
return cnt<=m;
}
int main(){
rd(n);rd(m);
for(int i=1,x;i<=n;i++){
rd(x);
charge[i]=x;
}
for(int i=1,u,v;i<n;i++){
rd(u);rd(v);
add(u,v);add(v,u);
}
int l=0,r=n,res=n-1;
while(l<=r){
getmid;
if(check(mid)){
res=mid;
r=mid-1;
}
else{
l=mid+1;
}
}
cout<<res<<endl;
return 0;
}
