NOI模拟 捉迷藏

涉及知识点：博弈论

题意

在一个树上，A 和 B 可以通过边在节点间移动，每回合可以不移动，或者移动到有边直接连接的节点。A 在抓 B，当 A 与 B 处于同一个节点时即为被抓住，可以发现无论如何 B 最后都会被抓住，你需要添加最小数量的边使得 B 有策略可以永远不会被抓住。

思路

最终的必败态是 A 和 B 处于同一个节点的情况，因此向前推一步，必败态为 B 能走到的节点距离 A 都小于等于 \(1\) 的情况，我们可以发现这样的节点是原树上的叶子节点，因此我们需要添加的边就是把叶子节点和树上某个点连起来，形成一个环，并且环长还不能小于等于 \(3\)，发现只要不是菊花图就一定有合法的添边方案。

现在考虑怎么使得添加的边数量最小——每个叶子都要连边，那么让叶子之间互相连边不就可以最小？但是不要忘了还有一个限制，即连出来的环长不能小于等于 \(3\)，可以证明只要不是同父亲的兄弟叶子节点连边，连出来的环长一定大于等于 \(4\)。因此这件事就解决了，我们先让同父亲的叶子节点和别的叶子连边，其他的之间随便连就行。在计算的时候可以进一步简化，因为我们不关心具体的连边方案，只要不存在某个节点的儿子叶子节点个数超过所有节点数的一半，添边数仍为 \(\lceil\frac{\text{总叶子数}}{2}\rceil\)；否则为这个节点的儿子叶子节点个数。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T>inline void rd(T &x){
    T res=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1; ch=getchar();}
    while('0'<=ch && ch<='9'){res=res*10+ch-'0';ch=getchar();}
    x=res*f;
}
template<class T>inline void wt(T x,char endch='\0'){
    static char wtbuff[20];
    static int wtptr;
    if(x==0){
        putchar('0');
    }
    else{
        if(x<0){x=-x;putchar('-');}
        wtptr=0;
        while(x){wtbuff[wtptr++]=x%10+'0';x/=10;}
        while(wtptr--) putchar(wtbuff[wtptr]);
    }
    if(endch!='\0') putchar(endch);
}
const int MAXN=1e5+5;
int n,de,deg[MAXN],fa[MAXN],leafcnt[MAXN],leaftot;
bool vis[MAXN];
inline void solve(){
    rd(n);
    de=0;leaftot=0;
    fill(deg,deg+1+n,0);
    fill(vis,vis+1+n,0);
    fill(leafcnt,leafcnt+1+n,0);
    for(int i=1,u,v;i<n;i++){
        rd(u);rd(v);
        deg[u]++;deg[v]++;
        fa[u]=v;fa[v]=u;
    }
    if(n<=3){puts("-1");return;}
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(deg[i]==1) leafcnt[fa[i]]++,leaftot++;
    }
    int leafcntmax=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(leaftot==leafcnt[i]){
            puts("-1");
            return;
        }
        leafcntmax=max(leafcntmax,leafcnt[i]);
    }
    if(leafcntmax*2>=leaftot) wt(leafcntmax,'\n');
    else wt((leaftot+1)/2,'\n');
}
int main(){
    // freopen("hide.in","r",stdin);
    // freopen("hide.out","w",stdout);
    int t;
    rd(t);
    while(t--) solve();
    return 0;
}