NOI模拟 开关

合集 - 南极企鹅语学校集训(25)

1.NOIP模拟 排序2023-09-192.NFLS 231031 比赛总结2023-10-313.JOI2013Final/LOJ2763 现代豪宅2023-11-104.省选模拟 序列2024-02-265.省选模拟 过路费2024-02-286.NOI模拟 序列2024-05-097.NOI模拟 大战波特2024-05-098.NOI模拟 Mizuki 与进化2024-05-099.NOI模拟 刀客球2024-05-1010.NOI模拟 真夏は誰のモノ2024-05-1111.NOI模拟 树数术2024-05-2212.NOI模拟 序列2024-05-2313.NOI模拟 GCD2024-05-24

14.NOI模拟 开关2024-05-27

15.NOI模拟 排序幻觉2024-05-2716.NOI模拟 UTF-82024-05-2817.NOI模拟 捉迷藏2024-06-0318.退背包简介/NOI模拟 卖画2024-06-0319.CSP模拟 取模2024-09-0920.CSP模拟 矩阵操作2024-09-1021.AGC007F Shik and Copying String2024-09-1222.洛谷P10336 [UESTCPC 2024] 2-聚类算法2024-10-0423.NFLS 241014 比赛总结2024-10-1424.QOJ5173 染色2024-11-0625.洛谷P11183 [ROIR 2018 Day2] 大数据处理2024-11-14

收起

涉及知识点：DP，组合数学

题意

$n\ (\leq10^9)$ 盏灯，可以做 $m\ (\leq10^3)$ 次操作，每次操作表示为一个长度为 $n$ 的 $01$ 串 $b$，$b_i$ 为 $1$ 表示该对灯 $i$ 的开关状态反转，一种关灯方法即为 $m$ 个两两不同的 $01$ 串组成的无序集合。现在 $n$ 盏灯中前 $v$ 盏是亮的，其他是灭的，请问有多少种关灯方法能恰好 $m$ 次操作关掉所有灯，答案模 $998244353$。

思路

学到一个非常好用的计数技巧：我们发现要计数的是集合这个要求很烦，但我们可以先求出有序情况下的答案，然后再除以阶乘，类比 $C_n^x$ 要比 $A_n^x$ 多除以一个 $x!$。对应到这道题，我们先求出有多少种不同的操作序列能关掉所有的灯，然后除以 $m!$ 得到答案（有序序列 $\rightarrow$ 无序集合）。

还可以发现一件事，因为最开始前 $v$ 盏灯亮着而最后要全熄灭，因此所有操作的 $01$ 串按位异或之后一定为前 $v$ 位为 $1$，其他为 $0$ 的串。说明假设已经确定了前 $m-1$ 个操作，第 $m$​ 次操作也就确定了，由此为转移进行 DP：

记 $f_i$ 为 $m=i$ 时的答案，

$$f_i=A_{2^n}^{i-1}-(i-1)[2^n-(i-2)]\times f_{i-2}$$

$A_{2^n}^{i-1}$ 为前 $i-1$ 个两两不同的操作有多少种组合，但我们第 $i$ 次操作的 $01$ 串有可能会和之前 $i-1$ 个操作重复，因此要减去重复的部分。前 $i-1$ 个串中有 $1$ 个和第 $i$ 个重复，由于两两不同，那么剩下 $i-2$ 个串是不和第 $i$ 个重复的，对于每种不重复的 $i-2$ 个串的组合（共 $f_{i-2}$ 种），重复的那个串只有可能是剩下的 $[2^n-(i-2)]$ 种，并且这个串的位置有可能是前 $i-1$ 个中的任意一个地方，因此需要重复的部分总共有 $(i-1)[2^n-(i-2)]\times f_{i-2}$ 种。

代码

代码中预处理了 $x!$ 和 $C_{2^n}^x$，同时将 $A_{2^n}^x$ 化为了 $x!\cdot C_{2^n}^x$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar __getchar
inline char __getchar(){
    static char ch[1<<20],*l,*r;
    return (l==r&&(r=(l=ch)+fread(ch,1,1<<20,stdin),l==r))?EOF:*l++;
}
#endif
template<class T>inline void rd(T &x){
    T res=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1; ch=getchar();}
    while('0'<=ch && ch<='9'){res=res*10+ch-'0';ch=getchar();}
    x=res*f;
}
template<class T>inline void wt(T x,char endch='\0'){
    static char wtbuff[20];
    static int wtptr;
    if(x==0){
        putchar('0');
    }
    else{
        if(x<0){x=-x;putchar('-');}
        wtptr=0;
        while(x){wtbuff[wtptr++]=x%10+'0';x/=10;}
        while(wtptr--) putchar(wtbuff[wtptr]);
    }
    if(endch!='\0') putchar(endch);
}
typedef long long LL;
const LL P=19260817,MAXN=1005;
LL n,m,v,fact[MAXN],c[MAXN],n2n,f[MAXN];
inline LL qpow(LL x,LL a){
    LL res=1;
    x%=P;
    while(a){
        if(a&1) res=res*x%P;
        x=x*x%P;
        a>>=1;
    }
    return res;
}
inline void solve(){
    rd(n);rd(m);rd(v);
    
    n2n=qpow(2,n);
    c[0]=1;
    for(LL i=1;i<m;i++){
        c[i]=c[i-1]*((n2n-i+1+P)%P)%P*qpow(i,P-2)%P;
    }

    f[0]=(v==0);
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=m;i++){
        f[i]=(fact[i-1]*c[i-1]%P - (i-1)*( (n2n-i+2+P)%P )%P*f[i-2]%P +P)%P;
    }
    wt(f[m]*qpow(fact[m],P-2)%P,'\n');
}
int main(){
    fact[0]=1;
    fact[1]=1;
    for(LL i=2;i<MAXN;i++){
        fact[i]=fact[i-1]*i%P;
    }
    int t;
    rd(t);
    while(t--) solve();
    return 0;
}