NOI模拟 GCD

合集 - 南极企鹅语学校集训(25)

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13.NOI模拟 GCD2024-05-24

14.NOI模拟 开关2024-05-2715.NOI模拟 排序幻觉2024-05-2716.NOI模拟 UTF-82024-05-2817.NOI模拟 捉迷藏2024-06-0318.退背包简介/NOI模拟 卖画2024-06-0319.CSP模拟 取模2024-09-0920.CSP模拟 矩阵操作2024-09-1021.AGC007F Shik and Copying String2024-09-1222.洛谷P10336 [UESTCPC 2024] 2-聚类算法2024-10-0423.NFLS 241014 比赛总结2024-10-1424.QOJ5173 染色2024-11-0625.洛谷P11183 [ROIR 2018 Day2] 大数据处理2024-11-14

收起

涉及知识点：数位DP，容斥原理

题意

令 $\text{dig}(i)$ 表示 $i$ 十进制表示下各数位乘积，则一个数对是正确的当且仅当满足以下条件：

• $1 \leq i,j \leq n$
• $\text{dig}(i) \times \text{dig}(j) > 0$
• $\gcd(\text{dig}(i), \text{dig}(j)) \leq k$

给你 $n,k\ (\leq 10^{18})$ 求有多少正确的有序数对。答案对 $998244353$​​ 取模。

思路

由于 $\text{dig}$ 为“数位”的乘积，我们知道一个 $1\leq x\leq 9$ 的数的质因子只有可能为 $2,3,5,7$，因此乘起来质因子也只有这四个，而且发现这四个质因子个数的有效组合其实只有 $10^4$ 级别。

记 $f_{i,j,k,l}$ 为满足 $2^i \times 3^j \times 5^k \times 7^l | \text{dig}(a)$ 且满足 $a\leq n$ 的 $a$​​ 的个数。这东西可以数位 DP。

那么满足 $\gcd(\text{dig}(a),\text{dig}(b))=2^i \times 3^j \times 5^k \times 7^l$ 的 $(a,b)$ 有序数对的个数为：

$$\large\sum\limits_{p_1, p_2, p_3, p_4 \in {0,1}} f_{i+p_1,j+p_2,k+p_3,l+p_4}^2 \times (-1)^{p_1 + p_2 + p_3 + p_4}$$

这是个容斥式，$f_{i,j,k,l}$ 意味着 $x=2^{x_2} \times 3^{x_3} \times 5^{x_5} \times 7^{x_7}(x_2\geq i,x_3\geq j,x_5\geq k,x_7\geq l),x\leq n$ 的情况数。

设 $a=2^{a_2} \times 3^{a_3} \times 5^{a_5} \times 7^{a_7}, b=2^{b_2} \times 3^{b_3} \times 5^{b_5} \times 7^{b_7}$ 时，我们通过上述容斥式算出了 $\min(a_2,b_2)=i,\min(a_3,b_3)=j,\min(a_5,b_5)=k,\min(a_7,b_7)=l$ 的情况数。具体做法可以理解为用 $f_{i,j,k,l}$ 减去了 $(i+1,j,k,l),(i,j+1,k,l),(i,j,k+1,l),(i,j,k,l+1)$ 这几种情况的并集（也就是 $a,b$ 存在质因子对应的指数取 $\min$ 大于我们想要的情况）。

我们又知道 $\gcd(a,b)=2^{\min(a_2,b_2)} \times 3^{\min(a_3,b_3)} \times 5^{\min(a_5,b_5)} \times 7^{\min(a_7,b_7)}$，因此就算出来了满足 $\gcd(\text{dig}(a),\text{dig}(b))=2^i \times 3^j \times 5^k \times 7^l$ 的 $(a,b)$ 有序数对的个数。

最后遍历一下质因子之积 $\leq k$ 的所有组合统计答案即可。

代码

数位 DP 部分较为容易，直接看代码吧。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL P=998244353;
const int MAXDIG=20;
LL n,K,ans=0,f[MAXDIG][61][39][27][23];
bool vis[MAXDIG][61][39][27][23];
int num[MAXDIG],numlen=0;
LL dfs(int dep,bool zero,bool limit,int i,int j,int k,int l){
    if(i/3+j/2+k+l>dep) return 0;//剪枝
    if(dep==0) return !zero && !i && !j && !k && !l;
    if(!zero && !limit && vis[dep][i][j][k][l]) return f[dep][i][j][k][l];
    int dig=limit?num[dep]:9;
    LL res=0;
    if(zero) res=(res+dfs(dep-1,true,limit&&(dig==0),i,j,k,l))%P;
    for(int p=1;p<=dig;p++){
        res=(res+dfs(dep-1,false,limit&&(dig==p),max(i-(!(p%2))-(!(p%4))-(!(p%8)),0),max(j-(!(p%3))-(!(p%9)),0),max(k-(!(p%5)),0),max(l-(!(p%7)),0)))%P;
    }
    if(!zero && !limit){
        vis[dep][i][j][k][l]=true;
        f[dep][i][j][k][l]=res;
    }
    return res;
}
LL calc(int i,int j,int k,int l){
    LL res=0;
    for(int p2=0;p2<=1;p2++)
    for(int p3=0;p3<=1;p3++)
    for(int p5=0;p5<=1;p5++)
    for(int p7=0;p7<=1;p7++){
        LL tmp=dfs(numlen,true,true,i+p2,j+p3,k+p5,l+p7);
        res=(res+1LL*((p2+p3+p5+p7)%2?P-1:1)*tmp%P*tmp%P)%P;
    }
    return res;
}
int main(){
    // freopen("b.in","r",stdin);
    // freopen("b.out","w",stdout);
    cin>>n>>K;
    while(n){
        num[++numlen]=n%10;
        n/=10;
    }
    LL tmp2,tmp3,tmp5,tmp7;
    tmp2=1;
    for(int i=0;tmp2<=K;i++,tmp2*=2){
        tmp3=1;
        for(int j=0;tmp2*tmp3<=K;j++,tmp3*=3){
            tmp5=1;
            for(int k=0;tmp2*tmp3*tmp5<=K;k++,tmp5*=5){
                tmp7=1;
                for(int l=0;tmp2*tmp3*tmp5*tmp7<=K;l++,tmp7*=7){
                    ans=(ans+calc(i,j,k,l))%P;
                }
            }
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}