NOI模拟 序列

合集 - 南极企鹅语学校集训(25)

1.NOIP模拟 排序2023-09-192.NFLS 231031 比赛总结2023-10-313.JOI2013Final/LOJ2763 现代豪宅2023-11-104.省选模拟 序列2024-02-265.省选模拟 过路费2024-02-28

6.NOI模拟 序列2024-05-09

7.NOI模拟 大战波特2024-05-098.NOI模拟 Mizuki 与进化2024-05-099.NOI模拟 刀客球2024-05-1010.NOI模拟 真夏は誰のモノ2024-05-1111.NOI模拟 树数术2024-05-2212.NOI模拟 序列2024-05-2313.NOI模拟 GCD2024-05-2414.NOI模拟 开关2024-05-2715.NOI模拟 排序幻觉2024-05-2716.NOI模拟 UTF-82024-05-2817.NOI模拟 捉迷藏2024-06-0318.退背包简介/NOI模拟 卖画2024-06-0319.CSP模拟 取模2024-09-0920.CSP模拟 矩阵操作2024-09-1021.AGC007F Shik and Copying String2024-09-1222.洛谷P10336 [UESTCPC 2024] 2-聚类算法2024-10-0423.NFLS 241014 比赛总结2024-10-1424.QOJ5173 染色2024-11-0625.洛谷P11183 [ROIR 2018 Day2] 大数据处理2024-11-14

收起

涉及知识点：数论，图论转化建图

题意

有一串长为 $n\ (\leq10^3)$ 序列 $a$，给出 $m\ (\leq10^3)$ 个条件，每条条件形如 $\gcd(a_i,a_j)=k$，问是否存在这样的序列满足所有条件。保证不存在重复的 $(a_i,a_j)$ 对。

思路

把题目给出的所有关系建成图，点 $i$ 代表 $a_i$，$\gcd(a_i,a_j)=k$ 转化为 $i$ 连 $j$ 边权为 $k$ 的边。将每个节点的点权设为与它相连的所有边边权的最小公倍数，可以证明，假如条件合法，这将是最小的合法值。

然后再遍历每条边，记为 $(u,v,k)$，判断 $u$ 和 $v$ 点权的 $\gcd$ 是否为 $k$，可以发现：

• 如果 $k<\gcd$，因为 $u$ 和 $v$ 的点权已经是最小，无法再变小，因此它们的 $\gcd$ 也不可能再变小，该情况不合法。
• 如果 $k=\gcd$，该情况符合题意，合法。
• 如果 $k>\gcd$，不存在这种情况，因为 $u$ 和 $v$ 的点权都为 $k$ 的倍数，它们的 $\gcd$ 无论如何都不可能小于 $k$。

因此，判断每条边即可。

代码

代码似乎会爆精度，莫名其妙就过了，有bug慎阅

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar __getchar
inline char __getchar(){
    static char ch[1<<20],*l,*r;
    return (l==r&&(r=(l=ch)+fread(ch,1,1<<20,stdin),l==r))?EOF:*l++;
}
#endif
template<class T>inline void rd(T &x){
    T res=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1; ch=getchar();}
    while('0'<=ch && ch<='9'){res=res*10+ch-'0';ch=getchar();}
    x=res*f;
}
template<class T>inline void wt(T x,char endch='\0'){
    static char wtbuff[20];
    static int wtptr;
    if(x==0){
        putchar('0');
    }
    else{
        if(x<0){x=-x;putchar('-');}
        wtptr=0;
        while(x){wtbuff[wtptr++]=x%10+'0';x/=10;}
        while(wtptr--) putchar(wtbuff[wtptr]);
    }
    if(endch!='\0') putchar(endch);
}
typedef long long LL;
typedef __int128_t int128;
const int MAXN=1e3+5;
int n,m,head[MAXN],ecnt=1;
int128 val[MAXN];
struct EDGE{
    int v,nxt;
    int128 w;
}e[MAXN<<2];
inline void add(const int& u,const int& v,const int128& w){
    e[++ecnt].v=v;
    e[ecnt].w=w;
    e[ecnt].nxt=head[u];
    head[u]=ecnt;
}
inline int128 __lcm(int128 x,int128 y){
    return x*y/__gcd(x,y);
}
inline void solve(){
    memset(head,0,sizeof(head));
    ecnt=1;
    
    rd(n);rd(m);
    for(int i=1,u,v;i<=m;i++){
        int128 w;
        rd(u);rd(v);rd(w);
        add(u,v,w);add(v,u,w);
    }

    for(int i=1;i<=n;i++){
        val[i]=1;
        for(int j=head[i];j;j=e[j].nxt){
            val[i]=__lcm(val[i],e[j].w);
        }
    }

    for(int i=2;i<=ecnt;i+=2){
        if(__gcd(val[e[i].v],val[e[i^1].v])!=e[i].w){
            puts("No");
            return;
        }
    }
    puts("Yes");
}
int main(){
    int t;
    rd(t);
    while(t--) solve();
    return 0;
}