矩阵快速幂加速递推

矩阵优化递推的思想在于把递推的层数化为矩阵的幂数，也就是说设计一个矩阵 $A$，使得 $A^n$ 中的某个元素就是递推的第 $n$ 项，即 $f_n$。这么做就可以将 $O(n)$ 的递推优化为 $O(\log_2 n)$的矩阵快速幂（矩阵 $A$ 的行列数为常数，因此快速幂中的矩阵乘法复杂度为常数），本质上是一种倍增做法

具体的讲，假如是我们现在有如下线性递推关系

$$f_n,f_{n-1},f_{n-2},\dots,f_2,f_1 \\ f_n=\{f_{n-1},f_{n-2},\dots,f_{n-k-1}\}$$

其中第二行的 $\{\}$ 代表一种运算，意味着 $f_n$ 可以由 $f_{n-1}$ 到 $f_{n-k}$ 的这些数做某种运算得出

那我们将这种递推关系转化为矩阵乘法形式（$A$ 为 $(k+1)\times(k+1)$ 的方阵），得：

$$\begin{bmatrix} f_n & f_{n-1} \dots f_{n-k} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_{n-1} & f_{n-2} \dots f_{n-k-1} \end{bmatrix} A = \begin{bmatrix} f_{n-2} & f_{n-3} \dots f_{n-k-2} \end{bmatrix} A^2 = \dots = \begin{bmatrix} f_{k} & f_{k-1} \dots f_0 \end{bmatrix} A^{n-k}$$

这样，我们只需要计算到 $f_k$ ，剩下就交给矩阵快速幂 $O(\log_2 n)$ 计算 $A^{n-k}$ 即可

---

那么，如何设计矩阵 $A$ 呢？

我们以计算斐波拉契数列为例，首先我们可以很快得出形如上式的矩乘形式

$$\begin{bmatrix} f_n & f_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_{n-1} & f_{n-2} \end{bmatrix} A = \dots = \begin{bmatrix} f_1 & f_0 \end{bmatrix} A^{n-1}$$

那么 $A$ 一定为一个 $2\times2$ 的矩阵，我们令其为 $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ 代入上式 $\begin{bmatrix}f_n & f_{n-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f_{n-1} & f_{n-2}\end{bmatrix}A$ 得到如下：

$$\begin{bmatrix} f_n & f_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (a\cdot f_{n-1}+c\cdot f_{n-2}) & (b\cdot f_{n-1}+d\cdot f_{n-2}) \end{bmatrix}$$

因此可以得到

$$f_n=a\cdot f_{n-1}+c\cdot f_{n-2}\\f_{n-1}=b\cdot f_{n-1}+d\cdot f_{n-2}$$

代入 $n$ 较小的值，手工计算出 $f_n$，$f_{n-1}$ 和 $f_{n-2}$，最后得解 $\begin{cases}a=b=c=1\\d=0\end{cases}$

因此，$A=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}$