分层图的妙用

介绍

分层图是一种很容易理解并且用途广泛的图，多用于求最短路，它其实是普通图最短路的加强版，可以解决一些图论题目的特殊操作，这个特殊操作就是我们去分的“层”。

思想

做分层图的题，只要把题目读懂，明白到底“层”分在哪就能解题，比如说：

给定一张\(n\)个点\(m\)条边的图，给出原点\(s\)和目标点\(t\)，可以创造\(k\)次虫洞（不一定要用完），使得任意\(i\)到\(j\)的距离变为\(0\)，请求出\(s\)到\(t\)的最短距离

那么，这道题有区别与普通最短路的地方明显就在于可以创造虫洞，而我们需要分的层就体现在创造虫洞的次数，下面我们就用图演示分层算法，假设此时原点为1，目标点为5，可以创造2次虫洞：

首先我们先将图复制为3份 为什么不是2份？因为一个虫洞也不创建也算一种情况

然后，对于某个点来说（这里以点4为例），它既有连接本层内的原始边（蓝色），而且我们还可以创造一次虫洞，使得它直接传送到下一个节点，因此应该还要连一条距离为\(0\)的边（红色），但是这条边应该连到\(k+1\)的图的下一个节点，表明我们创造了一次虫洞（\(k=2\)时就不能继续往上连了）

最后，我们按照这样的规律，将所有的“跨层边”都连起来（彩色边，距离都为0），跑一遍最短路，\(k=0\)时的原点到\(k=u\)时的目标点的最短路就是答案

因此，分层图仅仅通过多加边的方式解决了最短路中的“自定义”操作，其他步骤与普通最短路无异，而如果要修改最短路算法来达到相同效果，将会是非常麻烦的

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实现

那么，相信你已经掌握了分层图的思想，做一道例题试试吧
P4568 [JLOI2011] 飞行路线

这里我采用了多层图存储于同一个数组中

注意本题有个hack数据，hack原理：戳我

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
const int MAXN=1e4+5,MAXNK=MAXN*11;
int n,m,k,s,t,dis[MAXNK];
bool vis[MAXNK];
struct EDGE{
    int to,val;
};
vector<EDGE>g[MAXNK];
inline void add(int from,int to,int cost){
    EDGE tmp;
    tmp.to=to;tmp.val=cost;
    g[from].push_back(tmp);
}
void dijkstra(){
    dis[s]=0;
    priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii>>pq;
    pq.push(make_pair(0,s));
    while(!pq.empty()){
        int cur=pq.top().second;pq.pop();
        if(!vis[cur]){
            vis[cur]=1;
            for(auto nxt:g[cur]){
                if(dis[nxt.to]>dis[cur]+nxt.val){
                    dis[nxt.to]=dis[cur]+nxt.val;
                    pq.push(make_pair(dis[nxt.to],nxt.to));
                }
            }
        }
    }
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    cin>>n>>m>>k>>s>>t;
    for(int i=1,from,to,cost;i<=m;i++){
        cin>>from>>to>>cost;
        add(from,to,cost);
        add(to,from,cost);
        for(int j=1;j<=k;j++){
            add(from+(j-1)*n,to+j*n,0);
            add(to+(j-1)*n,from+j*n,0);
            add(from+j*n,to+j*n,cost);
            add(to+j*n,from+j*n,cost);
        }
    }
    for(int i=1;i<=k;++i)
	{
		add(t+(i-1)*n,t+i*n,0);//这行代码的目的是为了将所有层图的目标点最短路集中在第k层的汇点，hack数据就hack在这里
	}
    dijkstra();
    cout<<dis[t+k*n]<<endl;
    return 0;
}