题目描述

给定整数 $A$、$B$ 和 $M$。

有多少种排列 $P=(P_1,\dots ,P_{AB-1})$ 满足以下所有条件？请将结果对 $M$ 取模。

• $P$ 的最长递增子序列的长度为 $A$。
• $P$ 的最长递减子序列的长度为 $B$。
• 存在一个整数 $n$，将 $n+0.5$ 添加到 $P$ 的末尾不会改变 $P$ 的最长递增子序列和最长递减子序列的长度。

题解

本题是考察 Robinson–Schensted 对应的练习题。

关于 Robinson–Schensted 对应的解释，国际读者可参考 英文维基百科。

在原题中，给定了最长递增子序列 (LIS) 和最长递减子序列 (LDS) 的长度，并且 $P$ 的长度为 $(AB-1)$，因此 $P$ 的标准杨表形状是唯一确定的。

具体来说，该形状为一个矩形，有 $B$ 行和 $A$ 列，右下角的方格被移除。设 $(i,j)$ 表示从上到下第 $i$ 行、从左到右第 $j$ 列的方格，$t_{i,j}$ 表示写在方格 $(i,j)$ 上的数字。当前方格包含 $(1,1),\dots ,(1,A),(2,1),\dots ,(2,A),\dots ,(B,1),\dots ,(B,A-1)$，且满足 $t_{i,j}<t_{i+1,j}$ 和 $t_{i,j}<t_{i,j+1}$。

考虑第三个条件。由于 LIS 和 LDS 长度不变，将 $(n+0.5)$ 添加到 $P$ 末尾会生成一个形状为 $B\times A$ 的杨表。设 $t_{i,j}^{\prime }$ 表示生成后的杨表中方格 $(i,j)$ 上的数字，需要满足：

• $t_{1,A}^{\prime }=n+0.5$，
• $t_{i+1,A}^{\prime }=t_{i,A}(1\le i\le B-1)$。

为了满足这些条件，原来的 $t$ 必须满足：

• $t_{i,A}>t_{i+1,A-1}(1\le i\le B-1)$。

综上所述，我们只需统计满足以下条件的 $t$ 的数量：

• $t$ 包含从 $1$ 到 $(AB-1)$ 的所有整数，
• $t_{i,j}<t_{i+1,j}$，
• $t_{i,j}<t_{i,j+1}$，
• $t_{i+1,A-1}<t_{i,A}$。

在没有第四个条件的情况下，可以使用钩长公式轻松求解结果，但第四个条件会使得问题更复杂。

在本题中，给定的约束足够小，可以使用动态规划 (DP) 进行求解，其中 $t$ 的值依次为 $1,2,\dots ,AB-1$ 填充。最多存在 500000 个状态，因此通过适当的实现可以快速运行。

思路解释

题目要求找到满足 LIS 和 LDS 长度要求的排列数量。由于 Robinson–Schensted 对应提供了一种将排列映射到杨表形状的方法，我们可以确定每种满足 LIS 和 LDS 长度的排列对应的杨表形状，并对该形状上的数字填充问题进行求解。通过动态规划和钩长公式，我们能够快速计算出满足条件的排列数量。