ARC186A 题解 和 官方题解ChatGPT翻译版

题意简述

对于一个 $N\times N$ 的 $01$ 矩阵 $A$，令 $C_i=\sum _{j=1}^N{A}_{i,j},R_j=\sum _{i=1}^N{A}_{i,j}$。

把 $(C_1,\dots ,C_N,R_1,\dots ,R_N)$ 对应相同的矩阵归到同一个等价类，对于某个等价类，集合 $S$ 中的元素是满足对于该等价类中所有 $A$，都有 $A_{i,j}$ 相等的 $(i,j)$。

给出 $N$，有 $Q$ 次询问，每次询问一个 $k$，是否存在 $|S|=k$ 的非空等价类，其中 $N\le 30,1\le Q\le N^2+1,0\le k\le N^2$。

题解

首先，对于 $01$ 矩阵形态无限制，可以考虑放在一个 $N+N$ 的完全二分图上边定向，即：

• $A_{i,j}=1$ 即 $r_i$ 向 $c_j$ 连边。
• $A_{i,j}=0$ 即 $c_j$ 向 $r_i$ 连边。

发现此时 $c,r$ 的入度（或者出度，总和为 $N$）与 $C,R$ 的限制等价。

再考虑对于所有度数相同的图都有 $A_{i,j}$ 相等的限制，对于任意两个同一等价类且不同的定向后二分图 $A,B$，先删除都存在的边，发现此时两者的 $C,R$ 仍然相同，但不存在都存在的边，且剩下的边都是相反的，所以对于任意点都有出度等于入度，那么此时整个图是由多个环构成的，发现还存在的边在环内，可以通过翻转整个环使 $C,R$ 不变。

于是得到结论：$A_{i,j}$ 不固定当且仅当其在环上。再说的清楚一点，因为通过上面的过程可以发现两个 $A,B$ 可能不同的只有在环上的边，且在环上的边可以通过翻转整个环使这条边相反。

然后可以暴力枚举强连通分量的大小来转移答案，假设左边有 $x$ 个点，右边有 $y$ 个点，不定的边就有 $xy$ 条，且二分图上可以构造强连通分量的充要条件是 $x,y\ge 2$。

那么可以 DP，考虑设 $f_{i,j,s}$ 为前 $i$ 个 $r$ 和前 $j$ 个 $c$，强连通分量内的边数为 $s$，枚举新的强连通分量的大小即可，注意我们只想判断可行性，可以钦定不同强连通分量内的边之间没有交叉。

时间复杂度 $\mathcal{O}(n^6)$，常数较小（最大的点跑了 6 ms）。

发现 DP 内记录的值为 01，可以考虑设 $f_{i,s}$ 为左边选了 $i$ 个点时，要得到 $s$ 条强连通分量内边所需的最小 $j$，应该可以做到 $\mathcal{O}(n^5)$？有时间再补。

$\mathcal{O}(n^6)$ 代码

ChatGPT 翻译

以下是 ChatGPT 翻译内容

Update on 2024.11.1 已补

如果有谁看不懂这篇题解或者需要更详细的题解的可以 Luogu 私信我，Sky_Maths，因为我还没看，有空再补。

基于图的重新表述

对于一个元素为0或1的 $N\times N$ 矩阵 $A$，考虑从一个完整的二部图构建的有向图。该图的顶点由两部分组成：$(R_1,\dots ,R_N)$ 和 $(C_1,\dots ,C_N)$，其边的方向如下：

• 如果 $A_{i,j}=1$，则边从 $R_i$ 指向 $C_j$
• 如果 $A_{i,j}=0$，则边从 $C_i$ 指向 $R_j$

此外，我们称两个图是相似的，如果对于每个顶点，它们的入度和出度相等。我们说图中的一条边是固定的，如果该边在所有相似图中都存在（且方向相同）。

这样的有向 $K_{N,N}$ 图和 $N\times N$ 的矩阵之间存在一一对应关系，矩阵中在第 $i$ 行第 $j$ 列的元素固定相当于 $R_i$ 和 $C_j$ 之间的边是固定的（不论方向如何）。通过这种有向图的重新表述，我们可以对该图进行分析。

解决方案

考虑两个相似的图，检查在移除所有相同方向的边后剩下的部分。根据相似图的定义，剩下图中每个顶点的入度和出度相等。这意味着剩下的图由若干个循环组成。反过来，对于任何图，如果我们将循环中的所有边方向反转，我们就得到了一个与原图相似的图。

因此，如果一条边是循环的一部分，那么它不是固定的。我们可以使用动态规划来确定以下值的可能组合，总时间复杂度为 $O(N^6)$（如果常数因子过大，可以预先计算所有情况并硬编码答案）：

• 从 $(R_1,\dots ,R_N)$ 中已分配到强连通分量的顶点数量
• 从 $(C_1,\dots ,C_N)$ 中已分配到强连通分量的顶点数量
• 包含在强连通分量中的边的数量（即，不是固定的）

请注意，由于图是二部的，在创建强连通分量时，必须至少从 $(R_1,\dots ,R_N)$ 和 $(C_1,\dots ,C_N)$ 中各选择两个顶点。反之，如果两个部分各有两个或更多的顶点，则总是可以实现强连通性。**

这是我自己的内容

我的英语好差啊/ll
不敢发/ll
Excuse me, I can't use English very well, but can we solve problem A in a better time complexity?
Try to use f[i][s] as: the min R points be used when the C use i points and get s edges not on the circle, can it be solved on $\mathcal{O}(n^5)$?