普通生成函数 基础 例 1

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前置知识

你可能需要了解一些生成函数基础。应该可以先看，看不懂再去学。

至少需要知道最基础的转封闭形式：$1+x+x^2+x^3+\cdots =\frac{1}{1-x}$ 和 $1+ax+(ax{)}^2+(ax{)}^3+\cdots =\frac{1}{1-ax}$。

约定

$F$ 表示函数，$f$ 表示一个生成函数（一个拥有无限项的多项式？）。

$[x^i]f$ 表示多项式 $f$ 的 $x^i$ 的系数。

函数 $\to$ 普通生成函数封闭形式

如果有这样一个函数（这个函数是怎么来的不重要）

$$i=0,G(i)=0$$

$$i=1,G(i)=1$$

$$i>1,G(i)=2^{i-2}$$

$G(i)$ 是什么呢，是长为 $i$ 的合法置换环的个数：

• 合法置换环：只有一个置换环且是由从 $1$ 升序到 $n$ 再从 $n$ 降序到 $1$ 的两条链构成的。（是什么意思也不重要，就是对于位置连续的置换环的限制）

如果我们要求 $F(n)$ 为长为 $n$ 的序列满足：

• 由合法置换环构成（此处是由 $mn\to mx,mx\to mn$ 的两条链构成的）
• 每个置换环都是序列上连续的一段区间。

那么 $F(n)=\sum _{i=1}^{n}F(n-i)G(i),F(0)=1$。

那么写出生成函数 $g=\sum _{i=0}G(i)x^i=x+\sum _{i=2}{2}^{i-2}{x}^i=x+x^2\sum _{i=0}(2x{)}^i=x+x^2\frac{1}{1-2x}=\frac{x^2+x(1-2x)}{1-2x}=\frac{x-x^2}{1-2x}$。

然后考虑一个合法排列相当于若干个合法置换环拼接起来，有 $f=\sum _{i=0}^n{g}^i$，即枚举由几个置换环拼接而成。那么 $f=\frac{1}{1-g}=\frac{1-2x}{1-3x+x^2}$。

普通生成函数封闭形式 $\to$ 递推方程

这里我们需要求出 $[x^n]f$ 即为答案，那么这里怎么求呢？

我们考虑设 $f=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots$（其中实际上有 $a_i=G(i)$）

对于 $f$，$f=\frac{1-2x}{1-3x+x^2}$ 等价于 $(1-3x+x^2)f=(1-2x)=t$，左侧的 $=a_0+(-3a_0+a_1)x+(a_2+-3a_1+a_0)x^2+\dots$，所以我们其实得到了关于 $a$ 的方程组。

有 $a_0=1,-3a_0+a_1=-2$，

还发现对于 $i\ge 2$，有 $[x^i](1-2x)=0$，且 $[x^i]((1-3x+x^2)f)=1(a_i{x}^i)+(-3x)(a_{i-1}{x}^{i-1})+x^2(a_{i-2}{x}^{i-2})=(a_i-3a_{i-1}+a_{i-2})x^i=[x^i](1-2x)=0$。

于是我们实际上得到了关于 $F(i)$ 的递推式，在本问题中 $F(0)=F(1)=1,F(i)=3F(i-1)-F(i-2)(i\ge 2)$

总结

对于无穷级数 $f=\frac{c}{d}$（其中 $c,d$ 是整式？），可以得到 $cf=d$，设 $f=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2\dots$，对于比较大的 $[x_n]f$ 是同一个递推式且可以解方程求出，比较大的定义是$\ge c,d$ 中次数最高的次数，$\ge len(c)$ 是显然的，对于要求 $\ge len(d)$，是因为此时才都是 $=0$。

至此，我们复习（学习）了在某些情况下通过普通生成函数封闭形式反推出递推方程的方式。还略微复习了函数化为普通生成函数的方式。