待补 重要思考:求给无向图定向使得其变为DAG的方案数
今天比赛考到了,不会,丢了 100 分。
rk2,380 -> rk15,280
别问为什么 T4 没过,因为不会 T2。
方法一 \(O(3^n)\)
令 \(f_S\) 为子集 \(S\) 内定向得到 DAG 的方案。
\(f_S = \sum\limits_{\emptyset \not= T\subset S, \text{T 为独立集}} (-1)^{|T| - 1}f_{S - T}\)
考虑 DAG 的分解构造过程,可以将其分为出/入度等于 \(0\) 的最大点集,删除/剥离一层继续这样,考虑逆向构造 DAG,但是发现存在重复计数,可以采用容斥,对于非空点集 \(T\),容斥系数为 \((-1)^{|T| - 1}\)。
关于容斥系数:有机会总结一下。关于本题,设 \(T\) 的计算容斥系数为 \(g(T)\),而真实容斥系数为 \(1\),根据计算方式,大的会被每个小的计算一次(有些时候是有关组合数的系数,但这里根据定义和公式是 \(1\) 次),于是有 \(\forall S, \sum\limits_{T\subset S}g(T) = 1\)
可以构造 \(g(T) = (-1)^{|T| - 1}\)
枚举子集复杂度 \(O(3^n)\)。考虑是不是可以 \(O(3^n)\) 求得容斥系数?
code
const int N = 20;
const int mod = 1e9 + 7;
int n, m;
int to[N];
int f[1 << N], g[1 << N];
inline void qadd(int &a, int b) {
a += b;
if (a >= mod) a -= mod;
}
void calc() {
read(n, m);
rep (i, 1, m) {
int a, b; read(a, b);
--a; --b;
to[a] |= 1 << b;
to[b] |= 1 << a;
}
g[0] = 1;
rep (s, 1, (1 << n) - 1) {
rep (j, 0, n - 1) {
if (s >> j & 1) {
g[s] = g[s ^ (1 << j)] & ((s & to[j]) == 0);
break;
}
}
}
f[0] = 1;
rep (s, 1, (1 << n) - 1) {
for (int t = s; t; t = (t - 1) & s) {
if (g[t] && f[s ^ t]) {
if (__builtin_popcount(t) & 1) qadd(f[s], f[s ^ t]);
else qadd(f[s], mod - f[s ^ t]);
}
}
}
write(f[(1 << n) - 1]);
}
方法二 \(O(n^22^n)\)
貌似子集卷积,记得补