Splay/LCT 学习笔记

唔，其实我不会 Splay，但是我会 LCT。

众所周知，会 LCT 和会 Splay 是两回事，因为 LCT 只需要旋至根即可。

到现在还是不会，但是先把 LCT 的 Splay 写一下吧。

自己复习用的。

先给代码。

LCT code

int isroot(int x) {return ch[fa[x]][0]!=x&&ch[fa[x]][1]!=x;}
int idt(int x) {return ch[fa[x]][1]==x;}
void swp(int x) {
    if(!x) return ;
    rev[x]^=1;
    swap(ls,rs);
}
void pushdown(int x) {
    if(rev[x]) {
        rev[x]=0;
        swp(ls);
        swp(rs);
    }
}
void pushup(int x) {
    if(!x) return;
    if(x<=n) ma[x]=-INF;
    else ma[x]=val[x];
    if(ls) cmax(ma[x],ma[ls]);
    if(rs) cmax(ma[x],ma[rs]);
}
void pushall(int x) {
    if(!isroot(x)) pushall(fa[x]);
    pushdown(x);
}
void add(int y,int x,int i) {ch[fa[x]=y][i]=x;}
void rotate(int x) {
    int y=fa[x],i=idt(x);
    if(isroot(y)) fa[x]=fa[y];
    else add(fa[y],x,idt(y));
    add(y,ch[x][!i],i);
    add(x,y,!i);
    pushup(y);
}
void splay(int x) {
    pushall(x);
    for(int y;y=fa[x],!isroot(x);rotate(x)) {
        if(!isroot(y)) rotate(idt(x)==idt(y)?y:x);
    }
    pushup(x);
}
void access(int x) {
    for(int p=0;x;p=x,x=fa[x]) {
        splay(x);
        ch[x][1]=p;
        pushup(x);
    }
}
void makeroot(int x) {
    access(x);
    splay(x);
    swp(x);
}
void split(int u,int v) {
    makeroot(u);
    access(v);
    splay(u);
}
void cut(int u,int v) {
    split(u,v);
    ch[u][1]=fa[v]=0;
    pushup(u);
}
int findroot(int x) {
	access(x);
	splay(x);
	while(pushdown(x), ls) x = ls;
	splay(x);
}

主要就是下面这三个函数。分开讨论。

$rotate$ 操作说明

因为 y = fa[x]，那么有 x = ch[y][i]。

旋转的过程即是先用 $x$ 替换 $y$，即从 fa[y] 的视角而言。

然后用 $x,y$ 两点间“包夹”的子树替换 $x$，即从 $y$ 的包夹子树的视角而言。

最后将子树的位置用 $y$ 替换，即从 $x$ 的视角而言。

$splay$ 操作

这个主要是旋转方向的问题。

就是第一次有可能对父亲也有可能对自己，若自己与父亲呈一条线idt(y) == idt(x)则转父亲，此时是一个相对于 x <- fa[x] -> fa[fa[x]] 的较平衡形态 $1$，否则转自己，此时是 fa[fa[x]]->x->fa[x] 的直线形态 $2$。

发现无论怎样都需要将 x 再次旋至根，若原来为 $1$ 形态，旋转后会变成 x -> fa[x] - > fa[fa[x]] 的形态，若原来为 $2$ 形态，则旋转后会变为 fa[fa[x]] <- x -> fa[x] 的较平衡形态。

对了，还有当前只有一层深度，此时只用旋转 x 即可。

那么这样的话无论怎样都会出现一次较平衡形态，所以可以保证复杂度。

当然，这样只是便于记忆罢了。

严谨的分析其实可以用势能分析法，OI-Wiki 上有，等我学成归来……

然后我们再分析只有单旋的，若开始前是直线状态，则单旋两次后不会出现较平衡形态，而是先出现一个折线，再出现一条直线。

若开始前为折线，则单旋两次后先出现一条直线，再出现一个较平衡状态。

是的，所以若开始前为直线则不能保证复杂度。

同样，这也不是严谨分析……

$access$ 操作

将 $x$ 与 原树上的根 之间的路径取出。

注意点：

1. 操作完后 $x$ 有实儿子，但是只会有左儿子，即原树的到根的链上的节点，所以得到的是一条从 根 到 $x$ 的链，没有其他节点。

2. pushup(x)