喵喵题合集

P3166 [CQOI2014] 数三角形

标签

枚举，容斥，gcd，细节，贡献，莫比乌斯反演，莫反

思路

感觉挺水的，但是没做出来，感觉代码很简单，但是打了好久，细节有点多，还是太菜了。

首先一眼容斥，题目说的不是很清楚啊，可能要猜一下题意。

反正总的三角形（含退化为线段的）个数为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{(n+1)(m+1)}{3})$，减去共线的贡献，这个可以考虑枚举线的形态，枚举形状，当前为 $(i,j)$ 点代表 $((0,0),(i,j))$ 的线段，线段上有 $gcd(i,j)+1$ 个点，这种形状的线段有 $(n-i+1)(m-j+1)$ 个，但注意方向，还有横线或竖线的情况特判一下。

$$ans=(\genfrac{}{}{0ex}{}{(n+1)(m+1)}{3})-(n+1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{3})-(m+1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{3})-2\cdot \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(n-i+1)(m-j+1)(gcd(i,j)-1$$

代码

复杂度为 $O(nm\log n)=O(n^2\log n)$，但可以优化为（递推 $gcd$）$O(nm)=O(n^2)$ 但没必要。
code

另一种做法

省流：莫反优化。

考虑优化最后那个东西，考虑快速求出 $\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(n-i+1)(m-j+1)(gcd(i,j)-1)$

只需快速求出 $\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(n-i+1)(m-j+1)gcd(i,j)$

因为有 $i=\sum _{d|i}\phi (d)$

故 $gcd(i,j)=\sum _{d|gcd(i,j)}\phi (d)=\sum _{d|i,d|j}\phi (d)$

即求 $\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(n-i+1)(m-j+1)\sum _{d|i,d|j}\phi (d)$

即求 $\sum _{d=1}^{min(n,m)}\phi (d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }(n-i\cdot d+1)(m-j\cdot d+1)$

后面的那个 $f(d)=\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }(n-i\cdot d+1)\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }(m-j\cdot d+1)$

然后，啊这，这是两个等差数列求和后相乘。

复杂度为 $O(n)$。

但是因为这题的答案是 $n^6$ 级别的，long long 最大 $2^{63}$，只能达到 $n=1000$ 左右了。

或者如果用 __int128，$(2^{127}{)}^{\frac{1}{6}}=2^{20}$，啊这，好像可以。

即 $n={10}^6$，个人认为 $n=5\cdot {10}^5$ 对防止溢出比较友好一点（不然爆 __int128）。

说不定给你出到模拟赛里……