群论入门小记

为了防止篇幅过长，内容有所简略。

感觉 Burnside / Pólya 和群论关系并不大，所以单独拿出来作为一个分支，link。

• 参考文章：link

定义#

定义一个集合 $G$ 和一个作用于 $G$ 上的运算符 $\ast$ 构成的二元组 $(G,\ast )$ 为一个群（或者简写为 $G$），满足以下性质：

• 封闭性：$\mathrm{\forall }a,b\in G$，$a\ast b\in G$。

• 结合律：$\mathrm{\forall }a,b,c\in G$，$(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$。

• 单位元：存在单位元 $e\in G$，满足 $\mathrm{\forall }a\in G$，$a\ast e=e\ast a=a$。

• 逆元：对于 $G$ 中所有元素 $a$ 都存在恰好一个 $a^{-1}\in G$ 满足 $a\ast a^{-1}=e$

特别的，可能某些“群”并不满足以上性质，但仍被定义并被广泛应用：

• 半群：不存在单位元和逆元。

• 幺半群：不存在逆元。

如果一个群还满足交换律，则称为交换群或阿贝尔群，否则称为非交换群或非阿尔贝群。

• 子群：若 $H\subseteq G$ 且 $(H,\ast )$ 也是一个群，则称其为 $G$ 的子群，可以记作 $H\le G$。

循环群#

对于群 $G$：

• 群的阶：为集合的大小，即 $|G|$。

• 元素的阶：对于 $a\in G$，定义 $a$ 的阶为最小的正整数 $k$ 满足 $a^k=e$，若不存在则为 $+\mathrm{\infty }$（必要条件为 $|G|$ 无穷大）。当 $G$ 为有限群时，$k$ 必然存在，记为 $\delta (a)$。

• 生成子群：对于某个元素 $a\in G$，定义其生成子群 $⟨a⟩$ 的集合为 $\{a,a^2,\dots ,a^{\delta (a)}\}$。

特别的，当 $⟨a⟩=G$ 时，称 $G$ 为循环群，其中 $a$ 为生成元。

比如对于质数 $p$，集合 $\{1,2,\dots ,p-1\}$ 与模意义下乘法构成了一个循环群。此时元素 $a$ 的阶为 ${\delta }_p(a)$，所有满足 ${\delta }_p(a)=p-1$ 的元素 $a$ 都可以作为生成元，即原根。

置换群#

• 轮换：对于一个置换，若对于 $i_1,i_2,\dots ,i_k$ 有 $p_{i_1}=i_2,p_{i_2}=i_3,\dots ,p_{i_k}=i_1$ 则存在轮换 $(i_1,i_2,\dots ,i_k)$。

• 置换群：由若干个置换组成的群，运算 $p\ast q$ 为两个置换的复合 $q\circ p$，即若 $q\circ p=r$ 则有 $r_i=q_{p_i}$。

对于 $n$ 个元素和对应的置换群 $G$，若 $G$ 包含了所有可能的置换，则称 $G$ 为对称群，简记为 $S_n=G$。

• 群同构：若群 $(G,\ast ),(H,\cdot )$ 存在一个双向映射 $f:G\to H$ 满足 $\mathrm{\forall }a,b\in G$，$f(a)\cdot f(b)=f(a\ast b)$，则称 $G$ 与 $H$ 同构。

Cayley Theorem#

• 任意一个有限群 $H$ 都与至少一个置换群 $G$ 同构。

Proof

考虑对于 $H$ 直接构造一个与其同构的置换群 $G$。

设 $h_1,h_2,\dots ,h_n$ 为 $H$ 中的元素，$G$ 同理。

那么令 $g_i={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{h_1,h_2,\dots h_n}{h_1{h}_i,h_2{h}_i,\dots h_n{h}_i})}$。

则群 $G$ 显然满足条件。

商群#

开始困难起来了。

• 陪集：对于 $H\le G$，那么对于任意 $g\in G$，定义 $g$ 的左陪集为 $gH=\{gh|h\in H\}$，右陪集为 $Hg=\{hg|h\in H\}$。

• 正规子群：若所有 $g$ 的左右陪集相同，即 $gH=Hg$，那么称 $H$ 为 $G$ 的正规子群，记为 $H⊴G$。

• 集族：集合的集合。

对于 $H⊴G$，我们定义其商群 $G/H$ 的集合为 $\{gH|g\in G\}$。注意，这里指的是所有集合 $gH$ 组成的集族。

对于 $g_1,g_2\in G$，接下来定义商群的运算符 $\cdot$ 为 $(g_{1}H)\cdot (g_{2}H)=\{a\ast b|a\in g_{1}H,b\in g_{2}H\}$。我们显然希望对于 $g_1,g_2\in G$ 有 $(g_{1}H)\cdot (g_{2}H)=(g_1\ast g_2)H$，这样就可以满足群的性质了。

在正规子群的优美性质下，这是成立的。

Proof

• 充分性，即证明若 $x\in (g_{1}H)\cdot (g_{2}H)$，则 $x\in (g_1\ast g_2)H$。

设 $x=g_1\ast h_1\ast g_2\ast h_2$。由正规子群的定义可得 $h_1\ast g_2\in Hg=gH$，不妨令 $g_2\ast h^{\prime }=h_1\ast g_2$。

那么 $x=g_1\ast (h_1\ast g_2)\ast h_2=g_1\ast g_2\ast h^{\prime }\ast h_2=(g_1\ast g_2)\ast (h^{\prime }\ast h_2)\in (g_1\ast g_2)H$。证毕。

• 必要性，即证明若 $x\in (g_1\ast g_2)H$，则 $x\in (g_{1}H)\cdot (g_{2}H)$。

设 $x=g_1\ast g_2\ast h$，那么 $x=g_1\ast e\ast g_2\ast h=(g_1\ast e)\ast (g_2\ast h)$。

由群的定义可得 $e\in H$。证毕。

• 商群的理解：我们可以视为通过陪集 $gH$ 的“标准”将 $G$ 中的元素划分为若干个等价类。

此外商群还有一些性质：

• 若 $G$ 为循环群，则 $G/H$ 也是循环群。

• 若 $G$ 为交换群，则 $G/H$ 也是交换群。

• $\mathrm{\forall }a\in G$ 且 $\delta (a)<+\mathrm{\infty }$，则 $\delta (a)|\delta (aH)$。

还有两个显然的结论：$G/G=\{e\}$，$G/\{e\}=G$。

• 指数：为 $G/H$ 的大小，即 $|G/H|$，记作 $[G:H]$。

群同态#

对于群 $(G,\ast ),(H,\cdot )$，若存在映射 $f:G\to H$ 满足 $f(a)\cdot f(b)=f(a\ast b)$，那么称 $G$ 同态于 $H$。

• 单同态：$f$ 为单射。

• 满同态：$f$ 为满射。

定义群同态的像 $\text{im}(f)=\{f(a)|a\in G\}$，群同态的核 $\ker (f)=\{a|f(a)=e\}$。

为了方便，令 $N=\ker (f)$。

• Lemma：$\ker (f)⊴G$

Proof

对于 $a\in G,b\in N$，有 $f(a\ast b)=f(a)\cdot f(b)=f(a)$。

令 $c=a\ast b\ast a^{-1}$，则 $f(c)=f(a)\cdot f(b)\cdot f(a^{-1})=e$，即 $c\in N$。

且有 $ab=ca$，且 $ab\in aN$，$ca\in Na$，归纳可得 $aN=Na$。证毕。

这保证了 $G/N$ 是良定义的。

• 群同态基本定理：若 $f$ 为群 $G$ 到群 $H$ 的同态，$G/N\cong \text{im(f)}$。

Proof

我们构造双向映射 $\phi :G/N\to \text{im(f)}$，满足 $\mathrm{\forall }a\in G$，$\phi (aN)=f(a)$。

• 映射合理性：即证明 $\mathrm{\forall }a,b\in G$，若 $aN=bN$ 则 $f(a)=f(b)$。在 $aN=bN$ 两边左乘一个 $a^{-1}$ 得到 $(a^{-1}\ast b)N=N$。由群的性质可得 $a^{-1}\ast b\in N$，则 $f(a^{-1}\ast b)=e$。进而得到 $f(a^{-1})\cdot f(b)=f(a^{-1}\ast b)=e$，所以 $f(a)=f(b)$。

• 是双向映射：由定义可得 $\phi$ 是满射。即证明对于两个 $a,b\in G$，若 $aN\ne bN$ 则 $f(a)\ne f(b)$。由 $aN\ne bN$ 可得 $a^{-1}bN\ne N$，即 $a^{-1}b\notin N$，则 $f(a^{-1})\cdot f(b)=f(a^{-1}\ast b)\ne e$，所以 $f(a)\ne f(b)$。

• 是同态：$\phi (aN)\cdot \phi (bN)=f(a)\cdot f(b)=f(a\ast b)=\phi ((a\ast b)N)=\phi ((aN)(bN))$。

证毕。