省选训练赛 #11 记录

个人认为 B 和 C 质量都很高。

B

一个数轴上有 \(n\) 个炸弹，第 \(i\) 个炸弹位于 \(X_i\)，爆炸半径为 \(R_i\)，权值为 \(v_i\)，这些炸弹的排布有两个性质：

• 若炸弹 \(x\) 可以直接或间接引爆炸弹 \(y\)，那么 \(y\) 一定不能直接或间接引爆炸弹 \(x\)。

• 定义炸弹序列 \(a_1, a_2, \dots, a_k\) 要求 \(\forall i\in [1, k - 1]\)，炸弹 \(a_i\) 可以引爆 \(a_{i + 1}\)。令 \(d(x, y)\) 为最大的 \(k\) 满足存在炸弹序列 \(a_1, a_2, \dots, a_k\) 且 \(a_1 = x, \ a_k = y\)。若 \(d(x, y) = 3\)，则 \(x\) 一定可以直接引爆 \(y\)。

对于每个炸弹 \(i(1\le i\le n)\)，求对于所有的炸弹序列 \(a_1, a_2, \dots, a_k\) 满足 \(a_k = i\)，其 \(\sum\limits_{j = 1} ^ {k - 1} f(v_{a_j}, v_{a_{j + 1}})\) 的最大值，其中 \(f(u, v) = ((u\oplus v) + u\cdot v) \bmod 998244353\)。

\(1\le n\le 3\times 10^5, \ 0\le R_i\le 10^{18}, \ |X_i|\le 10^{18}\)

对于这种题，其代价函数 \(f(u, v)\) 几乎无法拆开，而且可能的转移数量为 \(\mathcal O(n ^ 2)\)，那么算法几乎无法得到优化。

所以，关键点在于转移数量可能并不是 \(\mathcal O(n ^ 2)\)。

• Lemma：对于炸弹 \(x\)，对于任意 \(k\ge 2\)，炸弹 \(x\) 右边的满足 \(d(x, y) = k\) 的炸弹 \(y\) 至多一个。

Proof

反证。若存在 \(x, y, z\) 满足 \(X_x < X_y < X_z\) 且 \(d(x, y) = d(x, z) = k\)。

在炸弹 \(z\) 一路引爆到炸弹 \(x\) 的过程中同时会引爆炸弹 \(y\)，那么 \(d(x, z) > d(x, y)\)，矛盾。

• Theorem：\(\max\limits_{1\le x < y\le n} d(x, y) \le \mathcal O(\log R)\)。

Proof

考虑对于三个炸弹 \(x, y, z\) 满足 \(X_x < X_y < X_z\)，若 \(z\) 可以直接引爆 \(y\)，\(y\) 可以直接引爆 \(x\)。

由炸弹排布性质，\(z\) 可以直接引爆 \(x\)。

可得 \(X_y - X_x\le R_y,\ X_z - X_x\le R_z\)。

又知 \(y\) 不能引爆 \(z\)，\(x\) 不能引爆 \(y\)，那么 \(R_x < X_y - X_x, \ R_y < X_z - X_y\)。

所以 \(X_y - X_x \le R_y < X_z - X_y\)，所以 \(R_x < X_y - X_x < \frac {X_z - X_x} 2 \le \frac {R_z} 2\)。

所以每引爆两个炸弹，半径至少减半，所以 \(d(x, y)\) 为 \(\mathcal O(\log R)\) 级别。

进一步可得转移数目为 \(\mathcal O(n\log R)\)，直接 DP 即可。

启示：这道题的关键在于观察转移贡献的特殊性从而对转移数目入手，从题目给出的性质入手推出更多的引理和定理。

C

一张边权为 \(0/1\) 的有向图，你需要给每个点分配 \(\mathtt {A,B,C,D}\) 四种类型中的一种。设 \(s_i\) 表示点 \(i\) 的种类，满足对于每条边 \((u, v, w)\)，都有 \(w = [(s_u, s_v) \in \{ (\mathtt A,\mathtt B),(\mathtt A,\mathtt D),(\mathtt B,\mathtt A),(\mathtt B,\mathtt D),(\mathtt C,\mathtt A),(\mathtt C,\mathtt B),(\mathtt C,\mathtt D)\}]\)。你需要构造任意一种方案，或报告无解。

\(1\le n\le 10^5, \ 1\le m\le 4\times 10^5\)

统一信息化：将 \(\mathtt {A,B,C,D}\) 分别视为 \(01,10,11,00\)，那么条件等价于 \(s_u\) 是否有一位比 \(s_v\) 大，边权是则为 \(1\)，否则为 \(0\)。

设 \(a_i, b_i\) 表示 \(s_i\) 第一位和第二位的取值，我们可以构造 2-sat。

• 当 \(w = 0\) 时：

  • \(a_u = 1 \Rightarrow a_v = 1, \ a_v = 0 \Rightarrow a_u = 0\)
  • \(b_u = 1 \Rightarrow b_v = 1, \ b_v = 0 \Rightarrow b_u = 0\)

• 当 \(w = 1\) 时：

  • \(a_u = 0 \Rightarrow b_u = 1, \ b_u = 0 \Rightarrow a_u = 1\)
  • \(a_v = 1 \Rightarrow b_v = 0, \ b_v = 1 \Rightarrow a_v = 0\)
  • \(a_u = 0 \Rightarrow b_v = 0, \ b_v = 1 \Rightarrow a_u = 1\)
  • \(b_u = 0 \Rightarrow a_v = 0, \ a_v = 1 \Rightarrow b_u = 1\)

• 启示：2-sat 也是一种构造方法；将构造的条件和对象统一信息化，转化为一种简易的信息。