NOIP模拟赛 #2

#1 不想理会。

A

给定 \(n\) 个点和 \(2n - 3\) 条边，这些边形成了一个凸 \(n\) 边形以及其三角剖分。你可以任意选择三个点，建立一个新的点以及其连接这三个点的边。最小化新建的点数，使得存在一种把最终的图拆分成两个边集无交的生成树的方案。通过交互来新建节点，并返回构造的方案。

\(3\le n\le 2\times 10^5\)

考虑新建一个点，此时点数为 \(n + 1\)，边数为 \(2n\)，已经是下界，考虑构造一种方案使得其划分为两棵生成树。可以每次选择一个度数为 \(2\) 的点，将其连接的两条边分别丢进两颗生成树，然后删掉这个点。直到最终只剩一个三角形时，新建一个点即可。

B

有 \(n\) 个点排成一排，选择若干个点使得相邻两个选择的点距离 \(\ge k\)，输出最大化后的选的点的权值和。权值序列这样给出：初始 \(n\) 个点的权值都为 \(0\)，有 \(m\) 次操作，每次令 \([l, r]\) 中的点权值加 \(1\)。

\(1\le k\le n\le 10^{12}, \ 1\le m\le 2.5\times 10^5\)

这个是一定要 dp 的，但是点数过多难以处理。考虑一个点选择的条件，他要么是某一操作中的 \(l\)，要么上一个选择的点与其相距 \(k\)。定义关键点为一个选择的点，满足其为某一次的 \(l\)。

离散化，提取出所有关键点。设 \(f_i\) 为 \([1, l_i - k]\) 中的点的答案，那么可以使用 \(f_i\) 来更新位置 \(l_i\)，求解可以直接把 \(l_i - k + 1\) 一起离散化掉。考虑在模 \(k\) 同余系上建立线段树，所有非关键点的处理是容易的，只需要做区间加。

C

给定一棵树，有 \(m\) 个人，每个人的行动范围为树上点 \(p_i\) 的距离为 \(d_i\) 的邻域。一开始第一个人感染了病毒，当两个人 \(i, j\) 的行动范围都包含了点 \(x\)，那么 \(i\) 会消耗 \(c_x\) 时间将病毒传染给 \(j\)，求每个人最早感染病毒的时间。

\(1\le n, m\le 10^5\)

淀粉质优化建图，最短路。

D

交互题，你需要猜一棵树，每次可以询问交互库一个点到达一个集合中每个点的距离之和。需要满足询问次数不超过 \(8500\)，询问的集合大小总和不超过 \(3\times 10^5\)。

\(1\le n\le 1000\)

以 \(1\) 为根，询问出每个点的深度，一层一层处理，令 solve(A, B) 为 \(B\) 中每个点从 \(A\) 中匹配一个父亲。

将 \(A\) 分为两个集合 \(A_1,A_2\)，发现若两个点 \(x,y \in B\) 满足 \(ask(x, A_1) = ask(y, A_1)\) 则可以划分为一组。对于一个点 \(x\in B\)，令 \(z\) 为其树上的父亲，应满足 \(ask(z, A_1) = ask(x, A_1) - |A_1|\)，所以也可以把 \(A\) 中的点分成若干组。

\(A, B\) 分成的若干组应是一一对应的，可以分治下去，正确性不会证明。

• 启示：随机化算法；分治思想。