CSP模拟赛 #42

#40 懒得写了，#41 题目质量过低。

A

有 \(n\) 张长度为 \(m\) 的纸条，每张纸条有 \(k_i\) 个位置有小写字母，其他位置透明。你需要合理从上到下排列这些纸条，使得最终在上方看到的字符串为 \(s\)，保证对于每个位置，至少一张纸条在该位置有一个字母。给出方案或无解。

\(1\le n,m\le 10^5, \ \sum k_i \le 2\times 10^5\)

纸条用的越多越好，这是一个类拓扑排序。提取出每张纸条被限制的位置，每放上一张纸条就把所覆盖的位置全标记一下，解放这些位置。对于每张纸条，记录一个 \(cnt_i\) 表示剩余仍被限制住的位置数，把 \(cnt_i = 0\) 的纸条加入队列。

B

给定两个序列 \(a_{1\dots n}, \ b_{1\dots m}\)。你需要分别选择 \(a\) 和 \(b\) 中一段，满足选出的两段长度相等，并且两个子段对应位置上的数相加后是一个回文序列。求最长的回文序列。

\(1\le n, m \le 10^5\)

设提取出来的子段为 \(A,B\)，那么 \(A+B = (A+B) ^ R \Rightarrow A - A^R = B^R - B\)。处理出 \(a,b\) 两个序列以及 reverse 后的序列的哈希值即可 \(\mathcal O(1)\) 判断。

回文序列有奇偶两种，对于奇偶两种都做一次二分，转化为判定 \(mid\) 是否合法。

提取出 \(a,b\) 的所有长度为 \(mid\) 的子段，扔进哈希表里判断一下是否有相同的即可。

• 启示：每一步思路清晰。

C

一个长度为 \(n\) 的排列，有若干个位置未填写。你需要填写这些位置，求出最大的 LIS。

\(1\le n\le 10^5\)

设 \(p_i\) 为前 \(i\) 个位置中未填写的位置个数，\(q_i\) 为 \(1...a_i\) 中未出现的数字个数，那么 \(f_i = \max\limits_{j = 1} ^ {i - 1} \{f_j + \min(p_i - p_j, q_i - q_j)\}\)，cdq 分治即可。

D

一个值域为 \([1, n]\) 的整数序列 \(a_{1\dots n}\)，满足每种整数最多出现 \(2\) 次。设 \(S[l, r]\) 为 \(a_{l\dots r}\) 组成的可重集，设 \(T\) 为所有 \(S[l, r]\) 组成的集合，求 \(\text{card}(T)\)。

\(1\le n\le 5\times 10^5\)

若一个区间 \([l, r]\)，存在另一个区间 \([l', r']\) 满足 \(l' < l\) 且 \(S[l, r] = S[l', r']\)，那么不合法，考虑用 \(\frac {n(n + 1)}2\) 减去所有不合法的区间。

一个区间 \([l, r]\) 不合法，当且仅当满足以下之一：

• 存在 \([l', r']\) 满足 \(r' < l\) 且 \(S[l', r'] = S[l, r]\)。

• 存在 \(l\le l'\le r\)，满足 \(S[l', r] = S[l - (r - l' + 1), l - 1]\)。

设 \(b_i\) 为前一个等于 \(a_i\) 的 \(a_j\) 的位置 \(j\)。若不存在，则 \(b_i = -2i\)，设 \(c_i = \max(0, b_i)\)。

条件一很好算，令 \([b_i, c_i]\) 为区间，考虑单调栈 + 线段树维护最小值个数。

条件二可以枚举 \(l'\)，维护 \(r\) 的信息。设 \([l', r]\) 这一段的 \(c_i\) 的最大值为 \(p_r\)，那么区间 \([l = p_r, r]\) 有贡献。一个区间可能贡献多次，我们强制令每个 \(r\) 通过最大的 \(l'\) 来贡献。具体的，在每个 \(r\) 上维护一个标记。\(r\) 位置上统计的最小值为 \(0\) 且有标记，去除标记并对答案造成贡献。当 \(p_r\) 改变时，对应贡献到的区间会改变，所以应重新给这些 \(r\) 打上标记。

我们需要动态求出所有最小值的位置上的标记，去除所有最小值位置上的标记，或者给一段位置重新打上标记，这些都可以用线段树解决。

减去同时满足条件一和条件二的情况，这种情况只可能是 \(l' = l\)。考虑求出满足 \(p_r = l' - 1\) 的 \(r\) 的区间 \([r_0, r_1]\)，贡献为这一段区间中最小值为 \(0\) 的位置的标记个数。

启示：更换枚举对象（枚举 \(l'\)）；最小表示法；容斥拆条件