ARC183D 做题记录

超棒的贪心构造题。

可以观察到每次操作的两个叶子，充要条件是路径上匹配边和非匹配边交替出现，操作完后全部取反。

首先考虑答案上界，从是否能取到上界入手，是本题的突破口。考虑操作两个叶子 \(x,y\)，收益为 \(dep[x] + dep[y] - 2dep[\text{LCA}(x, y)]\)。若固定根 \(r\)，当 \(\text{LCA}(x, y)\) 始终为 \(r\) 时取到上界。

当然 \(r\) 是不确定的，对于不同的 \(r\) 我们所述的上界会不同。有个 trick，节点两两匹配时，取 \(r\) 为重心时可以保证每次选的点都一定在 \(r\) 的不同子树中，这样 LCA 有了保证。

但是在题目限制下一定对吗？考虑目前 \(r\) 所匹配的点 \(x\)，那么我们选的其中一个点一定在 \(x\) 子树中。贪心选择，我们选择另一棵子树大小最大的子树，两棵子树各选择一个叶子操作。

不难发现，一棵子树中一定可以选出一个合法的叶子。
大力发挥人类智慧，我们对一棵子树进行 DFS，每次优先遍历非匹配边，得到的 DFS 序倒过来就是合法的操作顺序。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

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#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned ll
#define pir pair <ll, ll>
#define mkp make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
using namespace std;
const ll maxn = 3e5 + 10, mod = 998244353;
ll n, rt, bs = 1e18, siz[maxn];
vector <ll> to[maxn];
void dfs1(ll u, ll fa = 0) {
	ll mx = 0; siz[u] = 1;
	for(ll v: to[u])
		if(v ^ fa) {
			dfs1(v, u), mx = max(mx, siz[v]);
			siz[u] += siz[v];
		} mx = max(mx, n - siz[u]);
	if(mx < bs)
		bs = mx, rt = u;
}
vector <ll> vec[maxn]; ll m, pos;
void dfs2(ll u, ll fa, ll id) {
	siz[u] = 1, vec[id].pb(u);
	ll mch = u & 1? u + 1 : u - 1;
	for(ll v: to[u])
		if(v != fa && v != mch) {
			dfs2(v, u, id); siz[u] += siz[v];
		}
	if(mch ^ fa) dfs2(mch, u, id);
} set <pir> st;
ll Get(ll i) {
	ll t = vec[i][vec[i].size() - 1];
	vec[i].pop_back(); return t;
}
int main() {
	scanf("%lld", &n);
	for(ll i = 1; i < n; i++) {
		ll u, v; scanf("%lld%lld", &u, &v);
		to[u].pb(v), to[v].pb(u);
	} dfs1(1);
	for(ll v: to[rt]) {
		dfs2(v, rt, ++m);
		ll mch = rt & 1? rt + 1 : rt - 1;
		if(v == mch) pos = m;
		else st.insert(mkp((ll) vec[m].size(), m));
	}
	for(ll i = 1; i < n / 2; i++) {
		pir tmp = *st.rbegin(); st.erase(tmp);
		printf("%lld %lld\n", Get(pos), Get(tmp.se));
		st.insert(mkp((ll) vec[pos].size(), pos));
		pos = tmp.se;
	}
	printf("%lld %lld\n", rt, Get(pos));
	return 0;
}