AGC061C 做题记录

很具有启发性的题目。

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我一开始没什么思路，选择了手动模拟来观察。

这道题打破了我的按部就班的步骤：考虑直接创造一个条件，这样就能做到不重复。

如果想到了这一点，我们其实就很容易想到这样一个条件：对于一个方案，\(\forall i\in[1,n],\ (a_i,b_i)\) 中没有其他人登记，那么 \(i\) 必须选 \(a_i\)。

可以发现，这样一定能做到不重复。

于是我们可以容斥：钦定容斥集合 \(S\) 表示对于 \(i\in S\)，\((a_i,b_i)\) 中没有其他人登记，且 \(i\) 选择了 \(b_i\)。

我们求出 \(L_i=j\) 表示最小的 \(j\) 满足 \(b_j\ge a_i\)，\(R_i = j\) 表示最大的 \(j\) 满足 \(a_j\le b_i\)。那么很显然，\([L_i,R_i]\) 中所有人的方案都固定。

而且，一个合法的容斥方案必须满足：\(\forall i,j(i<j), \ R_i < L_j\)。

于是，我们可以视原问题为：选若干个互不相交的区间，每个区间有 \((-1)\) 的权值，没有被覆盖的位置有 \(2\) 的权值，求所有合法方案的权值乘积之和。

容易使用 dp 解决。

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned ll
#define fi first
#define se second
#define pir pair <ll, ll>
#define mkp make_pair
#define pb push_back
using namespace std;
const ll maxn = 5e5 + 10, mod = 998244353;
ll n, a[maxn], b[maxn], f[maxn], L[maxn], R[maxn];
int main() {
	scanf("%lld", &n);
	for(ll i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%lld%lld", a + i, b + i);
	}
	for(ll i = 1, j = 0; i <= n; i++) {
		while(b[j] < a[i]) ++j;
		L[i] = j;
	}
	for(ll i = 1, j = 0; i <= n; i++) {
		while(j < n && a[j + 1] <= b[i]) ++j;
		R[i] = j;
	}
	f[0] = 1;
	for(ll i = 1; i <= n; i++) {
		for(ll j = R[i - 1] + 1; j <= R[i]; j++)
			f[j] = (f[j - 1] << 1) %mod;
		f[R[i]] = (f[R[i]] - f[L[i] - 1] + mod) %mod;
	}
	printf("%lld", f[n]);
	return 0;
}