简单格路计数相关
形式#
无限制#
最简单的一种。
- 从
走到 ,每次只能向上或向右走,一共有 种方案。
不碰线格路计数问题#
问题:从
考虑容斥,总方案数为
考虑第一次碰到直线后,把后面的路径按
发现走到
双不碰线格路计数问题#
问题:从
还是容斥,总方案数为
减去分别碰到
考虑再加上先碰
一直这样算下去,直到超出可行范围内。
补充:对于原来的两条直线
应用#
Catalan number#
定义卡特兰数
容易算出
运用模型:
-
长度为
的合法括号序列数。 -
依次入栈,合法出栈序列数。 -
个点的无标号有根二叉树数量。 -
边凸多边形的三角剖分方案数。
根号分治#
- 题目:有两个人,从
走到 ,每一步都同时走,全程两人之间的曼哈顿距离不超过 ,求方案数。
发现同时向上/右走不影响两人之间的距离,考虑枚举异方向走的步数
-
第一个人向上走,第二个人向右走,距离
。 -
第一个人向右走,第二个人向上走,距离
。
相当于一个变量,每次
放在平面上,从
反射容斥,双不碰线问题,答案为
这样算复杂度为
我们可以 DP,复杂度为
根号分治,
LIS #
问题:求有多少个排列
考虑取反,最长下降子序列长度
根据 Dilworth 定理,最大反链等于最小路径覆盖,即排列
- 一个很牛逼的 DP:设
表示填写了 ,最大值为 的合法方案数。
考虑转移到
否则一定填
这样转移为
那么
考虑转格路计数问题,相当于从
出处:https://www.cnblogs.com/Sktn0089/p/18173743
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