概率期望进阶 + Min-Max容斥 练习题
Luogu5644 [PKUWC2018] 猎人杀
题意：有 \(n\) 个人，每次在剩下的人中选择一个人杀死，选择 \(i\) 的概率为 \(\dfrac{w_i}{\sum_j w_j}\)，求第 \(1\) 个人是最后一个杀死的概率，答案对 \(998244353\) 取模。
\(w_i\ge 1,\space \sum\limits_{i=1}^n w_i\le 10^5\)
考虑容斥，枚举钦定在 \(1\) 之后死的人的集合 \(S\)，那么该概率为 \(\dfrac {w_1}{w_1+\sum\limits_{j\in S}w_j}\)，容斥系数为 \((-1)^{|S|}\)。
使用背包来综合所有的 \(S\)，设 \(f[i,j]\) 表示考虑了前 \(i\) 个人，\(\sum\limits_{x\in S}w_x=j\)，带容斥系数的概率总和。
可以分治来卷积，时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。记录
CF1349D Slime and Biscuits
题意：有 \(n\) 个人，第 \(i\) 个人有 \(a_i\) 个饼干。每次随机选择一个饼干，将其随机分配给除了它现在所有者的其他 \(n−1\) 个人。求使得一个人拥有所有饼干的期望步数，对 \(998244353\) 取模。
\(1\le n\le 10^5,\space \sum\limits_{i=1}^n a_i\le 3\times 10^5\)
设 \(E_u\) 表示饼干全在第 \(u\) 个人手里并且由 \(u\) 结束的带概率系数期望步数。
我们要求的答案是 \(\sum\limits_{i=1}^n E_i\)。考虑计算 \(E_u\)：设 \(D_u\) 表示不考虑之前是否已经结束，饼干全在第 \(u\) 个人手里的期望步数，\(P_u\) 表示在 \(u\) 结束的概率。
其中 \(C\) 表示饼干全部从 \(v\) 转移到 \(u\) 的期望步数，不难发现是个常数。
推式子
只需要求 \(D_{1...n},C\)。
设 \(f[i]\) 表示一个人已经有了 \(i\) 个饼干，获得 \(i+1\) 个饼干的期望步数，这个随便推就行。
那么 \(D_i=f[a_i],\space C=f[0]\)，时间复杂度 \(O(\sum a)\)。记录
Luogu5463 随机游走
一棵 \(n\) 个点的树，一开始从 \(x\) 点出发随机游走。有 \(Q\) 次询问，每次给出一个点集 \(S\)，求第一次经过 \(S\) 中所有点的期望时间。
\(1\le n\le 18,\space 1\le Q\le 5000\)
考虑 Min-Max 容斥，改为求第一次经过 \(S\) 中任意一个点的期望时间。
考虑预处理时枚举所有 \(S\)，然后求解。设 \(f[u]\) 表示从 \(u\) 点开始走到 \(S\) 中任意一个点的期望时间，套路可知 \(f[u]\) 可以表示成关于 \(f[fa_u]\) 的一次函数。
令根为 \(x\)，那么 \(f[x]\) 的常数项就是答案。
对于询问部分，我们可以预处理 sos dp 子集求和，时间复杂度 \(O(n(2^n+Q))\)。记录
uoj449 【集训队作业2018】喂鸽子
题意：有 \(n\) 只鸽子，每秒会等概率选择一只鸽子并给他一粒玉米。一只鸽子饱了当且仅当它吃了的玉米粒数量
\(\ge k\)。求期望多少秒之后所有的鸽子都饱了。
\(1\le n\le 50,\space 1\le k\le 1000\)
Min-Max 容斥，转为求 \(t\) 个鸽子中把任意一个鸽子喂饱的期望秒数。
考虑 Gachapon 一题的方法，把喂食序列中这 \(t\) 个鸽子拎出来，是一个子序列。对于子序列的每个前缀，期望存在时间都是 \(\dfrac nt\)，所以只需要求所有可能的前缀出现概率之和。
一个长度为 \(d\) 的前缀，合法的方案数为 \(1...t\) 的多重集排列数，其中每个数出现次数 \(\le k-1\)。总方案数为 \(k^d\)，所以只需要求合法的长度为 \(d\) 的多重集排列数。
设 \(f[i,j]\) 表示前 \(i\) 个数组成大小为 \(j\) 的排列数方案数。
但是直接转移会超时，然后容斥也会超时。
考虑第 \(j\) 个数可以是 \(1...i\) 中任意一个，假设是 \(x\)。那么如果 \(j-1\) 个数中 \(x\) 出现次数 \(<k-1\) 时这样就合法；如果次数 \(=k-1\) 就不合法，考虑减去这个方案数，为 \({j-1 \choose k-1} f[i-1,j-k]\)。
当然也可以生成函数推导，时间复杂度 \(O(n^2k)\)。记录
uoj422【集训队作业2018】小Z的礼物
题意：一个 \(n\times m\) 的网格，有一些关键格。每次随机选择一个合法位置放置一个 \(1\times 2\) 的骨牌，可以重叠，求把所有关键格都覆盖的期望次数。
\(1\le n\le 6,\space 2\le m\le 100\)
Min-Max 容斥，转为求对于所有关键格集合，覆盖任意一个的期望次数。
用 dp 来综合所有集合。设 \(f[i,j,k,S]\) 表示考虑到了格子 \((i,j)\)，有 \(k\) 个骨牌放置位置可以覆盖到选择的关键格，上方轮廓线为 \(S\) 的带符号方案数总和。
时间复杂度 \(O(n^2m^22^n)\)。记录
