ARC174 rt记录

赛时过了 ABCDE（5/6）

F 出题人是弱智吧，出奇偶分讨模拟题，赛后重写了一遍代码就过了。

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E. Existence Counting#

题意：给出 $n,k$ 和序列 $P_{1...k}$。称一个序列是好的，当且仅当长度为 $k$，所有整数范围为 $[1,n]$ 并且两两不同，这里保证 $P$ 是好的。对于每个数 $x\in [1,k]$，求字典序 $\le P$ 的所有好序列中 $x$ 的出现次数。

$1\le k\le n\le 3\times {10}^5$

考虑枚举第一个不同的位置 $i$。

那么对于数字 $P_{1...i-1}$，他们多出现了 对应方案数 次。

对于其他数字，可以分为两部分：$<P_i$ 的和 $\ge P_i$ 的，同一部分的数字贡献都是一样的。

设 $cnt$ 表示 $<P_i$ 的数字个数。

• $<P_i$ 的贡献

可以在 $i$ 位置出现，也可以在后面出现。

加起来，为 $A(n-i,m-i)+(cnt-1)(m-i)A(n-i-1,m-i-1)$。

• $\ge P_i$ 的贡献

为 $cnt(m-i)A(n-i-1,m-i-1)$。

总方案数为 $cnt\times A(n-i,m-i)$。

我们需要支持给 $[1,P_i-1]$ 中除去 $P_{1...i-1}$ 的数字做加法，给 $[P_i,n]$ 中除去 $P_{1...i-1}$ 的数字做加法。

考虑倒着枚举 $i$，每次把 $P_i$ 的贡献清零，使用树状数组即可。

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F. Final Stage#

题意：Alice 和 Bob 玩游戏。给出 $l_{1...n},r_{1...n}$，编号为奇数的是 Alice 玩，偶数是 Bob 玩。有一堆石子，现在 $i=1...n$，每次当前玩家取出一些石子，个数为 $[l_i,r_i]$，不能取的玩家输，对手赢。有 $q$ 次询问，每次给出 $C$ 表示石子个数，求谁能赢，或者都不会赢。

$1\le n,q\le 3\times {10}^5,1\le l_i\le r_i\le {10}^9$

朴素的 dp 是简单的，设 $f[i,j]$ 表示从 $i$ 到 $n$ 游戏，初始石子个数为 $j$，是否能赢。

我们考虑直接维护 $f[i,]$，输和赢一段一段交替出现，最后一段是平局。

考虑维护 $f[i,]$ 的差分，即相邻两段的分界线。

发现每次其实会给输的段的 $[l,r]$ 做加法：$l\leftarrow l+l_i,r\leftarrow r+r_i$，然后把所有段的输赢状态取反。

用差分描述：把第奇数个 $1$ 往右平移 $l_i$ 单位，把第偶数个 $1$ 往右平移 $r_i$ 单位，然后给位置 $1$ 赋值成 $1$。

注意到有些平移后输的段可能满足 $l>r$，此时我们需要消去对应的两个 $1$。

考虑使用两个堆 $q_1,q_2$，分别维护奇偶两种，相邻的 $1$ 之间的距离。若距离为 $0$，就可以消去。

每次取出 $q_1$ 或 $q_2$ 进行更新即可，两个堆都还要额外围护一个整体加法标记。

我们还需要动态支持消去一些 $1$，考虑使用链表维护每个 $1$ 的位置即可。

时间复杂度 $O(n\log n)$。