ARC174 rt记录

赛时过了 ABCDE（5/6）

F 出题人是弱智吧，出奇偶分讨模拟题，赛后重写了一遍代码就过了。

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E. Existence Counting

题意：给出 \(n,k\) 和序列 \(P_{1...k}\)。称一个序列是好的，当且仅当长度为 \(k\)，所有整数范围为 \([1,n]\) 并且两两不同，这里保证 \(P\) 是好的。对于每个数 \(x\in [1,k]\)，求字典序 \(\le P\) 的所有好序列中 \(x\) 的出现次数。

\(1\le k\le n\le 3\times 10^5\)

考虑枚举第一个不同的位置 \(i\)。

那么对于数字 \(P_{1...i-1}\)，他们多出现了 对应方案数 次。

对于其他数字，可以分为两部分：\(<P_i\) 的和 \(\ge P_i\) 的，同一部分的数字贡献都是一样的。

设 \(cnt\) 表示 \(<P_i\) 的数字个数。

• \(<P_i\) 的贡献

可以在 \(i\) 位置出现，也可以在后面出现。

加起来，为 \(A(n-i,m-i)+(cnt-1)(m-i)A(n-i-1,m-i-1)\)。

• \(\ge P_i\) 的贡献

为 \(cnt(m-i)A(n-i-1,m-i-1)\)。

总方案数为 \(cnt\times A(n-i,m-i)\)。

我们需要支持给 \([1,P_i-1]\) 中除去 \(P_{1...i-1}\) 的数字做加法，给 \([P_i,n]\) 中除去 \(P_{1...i-1}\) 的数字做加法。

考虑倒着枚举 \(i\)，每次把 \(P_i\) 的贡献清零，使用树状数组即可。

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F. Final Stage

题意：Alice 和 Bob 玩游戏。给出 \(l_{1...n},r_{1...n}\)，编号为奇数的是 Alice 玩，偶数是 Bob 玩。有一堆石子，现在 \(i=1...n\)，每次当前玩家取出一些石子，个数为 \([l_i,r_i]\)，不能取的玩家输，对手赢。有 \(q\) 次询问，每次给出 \(C\) 表示石子个数，求谁能赢，或者都不会赢。

\(1\le n,q\le 3\times 10^5,\space 1\le l_i\le r_i\le 10^9\)

朴素的 dp 是简单的，设 \(f[i,j]\) 表示从 \(i\) 到 \(n\) 游戏，初始石子个数为 \(j\)，是否能赢。

我们考虑直接维护 \(f[i,]\)，输和赢一段一段交替出现，最后一段是平局。

考虑维护 \(f[i,]\) 的差分，即相邻两段的分界线。

发现每次其实会给输的段的 \([l,r]\) 做加法：\(l\gets l+l_i,\space r\gets r+r_i\)，然后把所有段的输赢状态取反。

用差分描述：把第奇数个 \(1\) 往右平移 \(l_i\) 单位，把第偶数个 \(1\) 往右平移 \(r_i\) 单位，然后给位置 \(1\) 赋值成 \(1\)。

注意到有些平移后输的段可能满足 \(l>r\)，此时我们需要消去对应的两个 \(1\)。

考虑使用两个堆 \(q_1,q_2\)，分别维护奇偶两种，相邻的 \(1\) 之间的距离。若距离为 \(0\)，就可以消去。

每次取出 \(q_1\) 或 \(q_2\) 进行更新即可，两个堆都还要额外围护一个整体加法标记。

我们还需要动态支持消去一些 \(1\)，考虑使用链表维护每个 \(1\) 的位置即可。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。