KTT 小记

来源#

来自 EI 的 2020 年的论文《浅谈函数最值的动态维护》。

适用范围#

给出一些形如 $k_{i} x_{i} + b_{i}$ 的一次函数且 $x_{i}$ 为已知值，支持动态对一次函数的 $x_{i}$ 或 $b_{i}$ 区间加，并快速查询一次函数的结果最值。

思想与实现#

使用线段树，记录一个阈值 $Δ x$ 表示 “当前区间的 $x$ 在整体加 $Δ x$ 后，存在某个线段树结点，其对应区间最大值位置发生改变”。

为了方便计算，我们线段树上的点存的最大值改为用直线存而不是一个数字。一条直线 $(k, b)$ 表示 “最大值为 $b$ ，且他的 $x$ 每 $+ 1$ 这个值会增加 $k$ ”，注意我们维护的 $b$ 会随着修改而变化。

考虑如何求 $Δ x$ ，取左右儿子的 $Δ x$ 的较小值，然后考虑当前点的最大值取的是左儿子还是右儿子，考虑两条直线，并计算出 “ $b$ 比较小的直线超过 $b$ 比较大的直线需要增加的阈值”，和前两个一起取最小值。

定义 “转移” 为将两条直线按上述 “合并” 的过程。不难发现， $Δ x$ 需要涉及到线段树的当前结点子树内所有结点的 “转移”。

对于修改，打标记的时候将 $Δ x$ 减去打的标记，并修改直线的截距 $b$ 。当维护的 $Δ x$ 为负数时，暴力下传标记，然后递归下去继续更新，合并两个儿子时重新刷新 $Δ x$ 。

根据 EI 的论文，可以证明，时间复杂度为 $O ((n + m) \log^{3} n)$ 。在一般情况下卡不到上界，差不多是 $2 \log$ 的。

点击查看代码

#define pil pair<line,ll>
struct line{
	ll k,b;
	line(){k=b=0;}
	line(ll K,ll B){k=K, b=B;}
	void add(ll v){b+=k*v;}
};
pil merg(line x,line y){
	if(x.k<y.k||(x.k==y.k&&x.b<y.b)) swap(x,y);
	if(x.b>=y.b) return mkp(x,inf);
	return mkp(y,(y.b-x.b)/(x.k-y.k));
}
const pil operator+ (const pil &x,const pil &y){
	pil tmp=merg(x.fi,y.fi);
	return mkp(tmp.fi,min(min(x.se,y.se),tmp.se));
}
struct KTT{
	ll tag[maxn<<2]; pil a[maxn<<2];
	void addtag(ll p,ll v){
		tag[p]+=v, a[p].se-=v;
		a[p].fi.add(v);
	}
	void pushdown(ll p){
		if(!tag[p]) return;
		addtag(p<<1,tag[p]);
		addtag(p<<1|1,tag[p]);
		tag[p]=0;
	}
	void upd(ll p){
		if(a[p].se>=0) return;
		pushdown(p);
		upd(p<<1), upd(p<<1|1);
		a[p]=a[p<<1]+a[p<<1|1];
	}
	void build(ll p,ll l,ll r){
		if(l==r){
			a[p]=mkp(line(0,-inf),inf);
			return;
		} ll mid=l+r>>1;
		build(p<<1,l,mid), build(p<<1|1,mid+1,r);
		a[p]=a[p<<1]+a[p<<1|1];
	}
	void modify(ll p,ll l,ll r,ll ql,ll qr,ll v){
		if(ql<=l&&r<=qr){
			addtag(p,v);
			upd(p); return;
		}
		ll mid=l+r>>1; pushdown(p);
		if(ql<=mid) modify(p<<1,l,mid,ql,qr,v);
		if(mid<qr) modify(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr,v);
		a[p]=a[p<<1]+a[p<<1|1]; 
	}
	void rep(ll p,ll l,ll r,ll x,line w){
		if(l==r){
			a[p].fi=w, a[p].se=inf;
			return;
		} ll mid=l+r>>1;
		pushdown(p);
		if(x<=mid) rep(p<<1,l,mid,x,w);
		else rep(p<<1|1,mid+1,r,x,w);
		a[p]=a[p<<1]+a[p<<1|1];
	}
}T;

入门题#

CF1830F The Third Grace

设 $f [i]$ 表示激活第 $i$ 个点，且考虑了前 $i$ 个点和所包含的区间的答案。

枚举上一个点 $j$ ，那么 $j$ 贡献的区间满足左端点 $\leq j$ ，右端点 $\geq j$ 。我们根据右端点不断加入新的区间，记 $c_{i}$ 表示点 $i$ 被区间覆盖的次数。

f [i] = {max}_{j = 0}^{i - 1} {f [j] + c_{j} \cdot a_{j}}

$j = 0$ 表示 $1 \sim i - 1$ 没有被激活的点，答案为 $f [n + 1]$ ，注意是先转移再加入区间。

每次加入区间会把 $c_{l . . . r}$ 区间 $+ 1$ ， $f [j]$ 和 $a_{j}$ 都是定值，这需要使用 KTT 维护。

具体操作看代码

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned ll
#define pir pair<ll,ll>
#define pil pair<line,ll>
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
#define max(a,b) ((a)>(b)? (a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)? (a):(b))
#define pb push_back
#define ls(p) a[p].lc
#define rs(p) a[p].rc
#define ad(a,b) ((a)+(b)>=mod? (a)+(b)-mod:(a)+(b))
using namespace std;
const ll maxn=1e6+10, inf=1e17;
struct line{
	ll k,b;
	line(){k=b=0;}
	line(ll K,ll B){k=K, b=B;}
	void add(ll v){b+=k*v;}
};
pil merg(line x,line y){
	if(x.k<y.k||(x.k==y.k&&x.b<y.b)) swap(x,y);
	if(x.b>=y.b) return mkp(x,inf);
	return mkp(y,(y.b-x.b)/(x.k-y.k));
}
const pil operator+ (const pil &x,const pil &y){
	pil tmp=merg(x.fi,y.fi);
	return mkp(tmp.fi,min(min(x.se,y.se),tmp.se));
}
struct KTT{
	ll tag[maxn<<2]; pil a[maxn<<2];
	void addtag(ll p,ll v){
		tag[p]+=v, a[p].se-=v;
		a[p].fi.add(v);
	}
	void pushdown(ll p){
		if(!tag[p]) return;
		addtag(p<<1,tag[p]);
		addtag(p<<1|1,tag[p]);
		tag[p]=0;
	}
	void upd(ll p){
		if(a[p].se>=0) return;
		pushdown(p);
		upd(p<<1), upd(p<<1|1);
		a[p]=a[p<<1]+a[p<<1|1];
	}
	void build(ll p,ll l,ll r){
		if(l==r){
			a[p]=mkp(line(0,-inf),inf);
			return;
		} ll mid=l+r>>1;
		build(p<<1,l,mid), build(p<<1|1,mid+1,r);
		a[p]=a[p<<1]+a[p<<1|1];
	}
	void modify(ll p,ll l,ll r,ll ql,ll qr,ll v){
		if(ql<=l&&r<=qr){
			addtag(p,v);
			upd(p); return;
		}
		ll mid=l+r>>1; pushdown(p);
		if(ql<=mid) modify(p<<1,l,mid,ql,qr,v);
		if(mid<qr) modify(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr,v);
		a[p]=a[p<<1]+a[p<<1|1]; 
	}
	void rep(ll p,ll l,ll r,ll x,line w){
		if(l==r){
			a[p].fi=w, a[p].se=inf;
			return;
		} ll mid=l+r>>1;
		pushdown(p);
		if(x<=mid) rep(p<<1,l,mid,x,w);
		else rep(p<<1|1,mid+1,r,x,w);
		a[p]=a[p<<1]+a[p<<1|1];
	}
}T;
ll t,n,m,l,r,f[maxn],a[maxn];
vector<ll>vec[maxn];
int main()
{
	scanf("%lld",&t);
	while(t--){
		scanf("%lld%lld",&m,&n);
		T.build(1,1,n);
		for(ll i=1;i<=m;i++){
			scanf("%lld%lld",&l,&r);
			vec[r].pb(l);
		}
		for(ll i=1;i<=n+1;i++){
			f[i]=max(0ll,T.a[1].fi.b);
			if(i>n) break;
			scanf("%lld",a+i);
			T.rep(1,1,n,i,line(a[i],f[i]));
			for(ll j:vec[i])
				T.modify(1,1,n,j,i,1);
			vec[i].clear();
		}
		printf("%lld\n",f[n+1]);
	}
	return 0;
}

维护转移#

Luogu5693 EI 的第六分块

这个应该算是比较正规的板子。

考虑平常我们是如何维护最大子段和的？维护四个数 $s u m, l m x, r m x, m x$ 表示区间和、最大前缀和、最大后缀和、最大子段和。

其实和之前说的维护区间最大值是一样的，只不过变成了维护四个数。两个东西取 $max$ 也变成了直线合并。

然后直线的斜率就是所维护的段的长度，显然区间加 $v$ 那么对应的值需要加长度 $\times v$ 。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned ll
#define pir pair<ll,ll>
#define pil pair<line,ll>
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
#define max(a,b) ((a)>(b)? (a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)? (a):(b))
#define pb push_back
#define ls(p) a[p].lc
#define rs(p) a[p].rc
#define ad(a,b) ((a)+(b)>=mod? (a)+(b)-mod:(a)+(b))
using namespace std;
const ll maxn=4e5+10, inf=1e17;
ll n,m,op,l,r,k;
struct line{
	ll k,b;
	line(){k=b=0;}
	line(ll K,ll B){k=K,b=B;}
	const line operator+ (const line t) const{
		return line(k+t.k,b+t.b);
	}
	void add(ll v){b+=k*v;}
};
pil merg(line x,line y){
	if(x.k<y.k||(x.k==y.k&&x.b<y.b)) swap(x,y);
	if(x.b>=y.b) return mkp(x,inf);
	return mkp(y,(y.b-x.b)/(x.k-y.k));
}
struct node{
	line sum,lmx,rmx,mx; ll x;
	node(){x=inf;}
	node(line a,line b,line c,line d,ll e){sum=a, lmx=b, rmx=c, mx=d, x=e;}
	const node operator+ (const node t) const{
		node res; pil tmp;
		res.x=min(x,t.x);
		res.sum=sum+t.sum;
		tmp=merg(lmx,sum+t.lmx), res.lmx=tmp.fi, res.x=min(res.x,tmp.se);
		tmp=merg(t.rmx,rmx+t.sum), res.rmx=tmp.fi, res.x=min(res.x,tmp.se);
		tmp=merg(mx,t.mx), res.mx=tmp.fi, res.x=min(res.x,tmp.se);
		tmp=merg(res.mx,rmx+t.lmx), res.mx=tmp.fi, res.x=min(res.x,tmp.se);
		return res;
	}
}a[maxn<<2];
struct KTT{
	ll tag[maxn<<2];
	void addtag(ll p,ll v){
		tag[p]+=v; a[p].x-=v;
		a[p].sum.add(v), a[p].lmx.add(v), a[p].rmx.add(v), a[p].mx.add(v);
	}
	void pushdown(ll p){
		if(!tag[p]) return;
		addtag(p<<1,tag[p]);
		addtag(p<<1|1,tag[p]);
		tag[p]=0;
	}
	void upd(ll p){
		if(a[p].x>=0) return;
		pushdown(p);
		upd(p<<1), upd(p<<1|1);
		a[p]=a[p<<1]+a[p<<1|1];
	}
	void build(ll p,ll l,ll r){
		if(l==r){
			ll x;
			scanf("%lld",&x);
			line d(1,x);
			a[p]=node(d,d,d,d,inf);
			return;
		}
		ll mid=l+r>>1;
		build(p<<1,l,mid), build(p<<1|1,mid+1,r);
		a[p]=a[p<<1]+a[p<<1|1];
	}
	void modify(ll p,ll l,ll r,ll ql,ll qr,ll v){
		if(ql<=l&&r<=qr){
			addtag(p,v);
			upd(p); return; 
		} pushdown(p);
		ll mid=l+r>>1;
		if(ql<=mid) modify(p<<1,l,mid,ql,qr,v);
		if(mid<qr) modify(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr,v);
		a[p]=a[p<<1]+a[p<<1|1]; 
	}
	node query(ll p,ll l,ll r,ll ql,ll qr){
		if(ql<=l&&r<=qr){
			upd(p);
			return a[p];
		}
		pushdown(p);
		ll mid=l+r>>1;
		if(qr<=mid) return query(p<<1,l,mid,ql,qr);
		if(mid<ql) return query(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
		return query(p<<1,l,mid,ql,qr)+query(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
	}
}T;
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	T.build(1,1,n);
	while(m--){
		scanf("%lld%lld%lld",&op,&l,&r);
		if(op==1){
			scanf("%lld",&k);
			T.modify(1,1,n,l,r,k);
		} else{
			node ret=T.query(1,1,n,l,r);
			printf("%lld\n",max(0ll,ret.mx.b));
		}
	}
	return 0;
}