多项式模板整理

约定#

$F[i]$ 表示 $F(x)$ 的 $i$ 次项系数。

多项式乘法基础#

详情见 多项式乘法入门

多项式求逆#

给出 $n$ 次多项式 $F(x)$，求一个多项式 $G(x)$，满足 $F(x)G(x)\equiv 1(\mathrm{mod}{x}^n)$，$G(x)$ 每个系数对 $998244353$ 取模。

我们逐一递推，假设已知 $G[1...i-1]$，需要求 $G[i]$ 的值。若 $i=1$，显然 $G[1]=\frac{1}{F[1]}$；否则，有

$$\sum _{j=0}^{i}F[j]G[i-j]=0$$

把带 $G[i]$ 的提出来

$$F[0]G[i]+\sum _{j=0}^{i-1}F[j]G[i-j]=0$$

$$G[i]=-\frac{\sum _{j=0}^{i-1}F[j]G[i-j]}{F[0]}$$

该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$。

我们尝试使用 倍增法 求解。

若我们已知 $\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ 次多项式 $G_0(x)$ 满足

$$F(x)G_0(x)\equiv 1(\mathrm{mod}{x}^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })$$

那么由于

$$F(x)G(x)\equiv 1(\mathrm{mod}{x}^n)$$

模数变为 $\lceil \frac{n}{2}\rceil$

$$F(x)G(x)\equiv 1(\mathrm{mod}{x}^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })$$

两式相减得

$$F(x)(G(x)-G_0(x))\equiv 0(\mathrm{mod}{x}^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })$$

$$G(x)-G_0(x)\equiv 0(\mathrm{mod}{x}^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })$$

为了把模数变为 $n$，两边平方

$$(G(x)-G_0(x){)}^2\equiv 0(\mathrm{mod}{x}^n)$$

同时乘 $F(x)$

$$F(x)(G(x)-G_0(x){)}^2\equiv 0(\mathrm{mod}{x}^n)$$

展开

$$F(x)G^2(x)-2F(x)G(x)G_0(x)+F(x)G_0^2(x)\equiv 0(\mathrm{mod}{x}^n)$$

带入 $F(x)G(x)\equiv 1(\mathrm{mod}{x}^n)$

得

$$G(x)-2G_0(x)+F(x)G_0^2(x)\equiv 0(\mathrm{mod}{x}^n)$$

移项得

$$G(x)\equiv 2G_0(x)-F(x)G_0^2(x)(\mathrm{mod}{x}^n)$$

其实也可以牛顿迭代。

点击查看代码

ll Q[maxn],P[maxn],o[maxn],t;
	void Getinv(ll *a,ll *b,ll n){
		for(ll i=0;i<n;i++) Q[i]=0; t=0;
		while(n>1) o[++t]=n, n=n+1>>1;
		Q[0]=power(a[0]); o[++t]=1;
		for(ll i=t-1;i;i--){
			for(ll j=0;j<o[i+1];j++) P[j]=Q[j];
			mul(P,P,P,o[i+1],o[i+1],o[i]);
			mul(a,P,P,o[i],o[i],o[i]);
			for(ll j=0;j<o[i];j++) Q[j]=(2*Q[j]-P[j]+mod)%mod;
		}
		for(ll i=0;i<o[1];i++) b[i]=Q[i];
	}

时间复杂度 $O(n\log n)$。

多项式求导与积分#

求导：$F^{\prime }(x)=\sum _{i>0}f[i]\cdot i{x}^{i-1}$

积分：$\sum _{i>0}\frac{f[i-1]}{i}{x}^i$

积分不会书写。

注意 $F^{\prime }(x)\ne (F(x){)}^{\prime }$，可以设 $y=F(x)$，容易得到 $(F(x){)}^{\prime }=y^{\prime }=0$

多项式 $\ln$#

计算 $\ln F(x)$，设 $G(x)=\ln F(x)$。

两边同时求导

$$G^{\prime }(x)=(\ln \circ F{)}^{\prime }(x)$$

链式法则得

$$G^{\prime }(x)={\ln }^{\prime }F(x)\cdot F^{\prime }(x)$$

$$G^{\prime }(x)=\frac{F^{\prime }(x)}{F(x)}$$

两边积分一下就行了，$O(n\log n)$。

点击查看代码

ll R[maxn];
	void ln(ll *a,ll *b,ll n){
		dao(a,R,n);
		Getinv(a,b,n);
		mul(b,R,R,n,n,n);
		jifen(R,b,n);
	}

多项式 $\exp$#

设 $F(G(x))=\ln G(x)-A(x)$，我们要求的是 $G(x)$，满足方程 $F(G(x))=0$。

根据牛顿迭代，我们求出了 $G_0(x)\equiv 0(\mathrm{mod}x{)}^{\lceil \frac{n}{2}\rceil }$，由于 $A(x)$ 是已知的东西，则

$$G(x)\equiv G_0(x)-\frac{F(G_0(x))}{F^{\prime }(G_0(x))}(\mathrm{mod}{x}^n)$$

$$G(x)\equiv G_0(x)-\frac{\ln G_0(x)-A(x)}{{\ln }^{\prime }{G}_0(x)}(\mathrm{mod}{x}^n)$$

$$G(x)\equiv G_0(x)-\frac{\ln G_0(x)-A(x)}{\frac{1}{G_0(x)}}(\mathrm{mod}{x}^n)$$

$$G(x)\equiv G_0(x)-G_0(x)\cdot (\ln G_0(x)-A(x))(\mathrm{mod}{x}^n)$$

$$G(x)\equiv G_0(x)\cdot (1-\ln G_0(x)+A(x))(\mathrm{mod}{x}^n)$$

分治即可，$O(n\log n)$

点击查看代码

ll z[maxn],zlt,F[maxn],G[maxn];
	void Exp(ll *a,ll *b,ll n){
		zlt=0;
		for(ll i=0;i<n;i++) F[i]=0;
		while(n>1) z[++zlt]=n, n=n+1>>1;
		z[++zlt]=1; F[0]=1;
		for(ll i=zlt-1;i;i--){
			ln(F,G,z[i]);
			for(ll j=0;j<z[i];j++) G[j]=(a[j]<G[j]? a[j]+mod-G[j]:a[j]-G[j]);
			G[0]=(G[0]==mod-1? 0:G[0]+1);
			mul(F,G,F,z[i+1],z[i],z[i]);
		}
		for(ll i=0;i<z[1];i++) b[i]=F[i];
	}

多项式开根#

设 $F(G(x))=G^2(x)-A(x)$，求 $F(G(x))=0$ 的解。

和 $\exp$ 基本一模一样

$$G(x)\equiv G_0-\frac{F(G_0(x))}{F^{\prime }(G_0(x))}(\mathrm{mod}{x}^n)$$

$$G(x)\equiv G_0-\frac{G_0^2(x)-A(x)}{2G_0(x)}(\mathrm{mod}{x}^n)$$

$$G(x)\equiv \frac{A(x)+G_0^2(x)}{2G_0(x)}(\mathrm{mod}{x}^n)$$

点击查看代码

void Sqrt(ll *a,ll *b,ll n){
		zlt=0;
		for(ll i=0;i<n;i++) F[i]=0;
		while(n>1) z[++zlt]=n, n=n+1>>1;
		z[++zlt]=1; F[0]=1;
		for(ll i=zlt-1;i;i--){
			mul(F,F,G,z[i+1],z[i+1],z[i]);
			for(ll j=0;j<z[i];j++) G[j]=(G[j]+a[j]>=mod? G[j]+a[j]-mod:G[j]+a[j]);
			for(ll j=0;j<z[i+1];j++) F[j]=((F[j]<<1)>=mod? (F[j]<<1)-mod:F[j]<<1);
			Getinv(F,F,z[i]);
			mul(G,F,F,z[i],z[i],z[i]);
		}
		for(ll i=0;i<z[1];i++) b[i]=F[i];
	}

多项式除法#

已知 $F(x),G(x)$，解方程 $F(x)=P(x)G(x)+Q(x)$，其中 $\mathrm{deg}Q(x)<\mathrm{deg}G(x)$。

若 $\mathrm{deg}F(x)=n,\mathrm{deg}G(x)=m$，

推导：

$$F(\frac{1}{x})=P(\frac{1}{x})G(\frac{1}{x})+Q(\frac{1}{x})$$

$$x^{n}F(\frac{1}{x})=x^{n}P(\frac{1}{x})G(\frac{1}{x})+x^{n}Q(\frac{1}{x})$$

$$x^{n}F(\frac{1}{x})=x^{n-m}P(\frac{1}{x})\ast x^{m}G(\frac{1}{x})+x^{n}Q(\frac{1}{x})$$

$$F_R(x)=P_R(x)G_R(x)+x^{n-m+1}{Q}_R(x)$$

上式中形如 $D_R(x)$ 的多项式表示 $D(x)$ 所有系数 reverse 后的多项式。

注意到右边有一项 $x^{n-m+1}{Q}_R(x)$，当上式在模 $x^{n-m+1}$
意义下：

$$F_R(x)\equiv P_R(x)G_R(x)(\mathrm{mod}{x}^{n-m+1})$$

$$P_R(x)\equiv \frac{F_R(x)}{G_R(x)}(\mathrm{mod}{x}^{n-m+1})$$

注意到 $P_R(x)$ 的次数为 $n-m$，于是一个求逆一个乘法可得 $P_R(x)$，进而得到 $P(x)$。

带入 $F(x)=P(x)G(x)+Q(x)$ 即可得到 $Q(x)$。

多项式快速幂#

给出多项式 $F(x)$ 和正整数 $n,k$，求 $F^k(x)(\mathrm{mod}n)$

考虑到 $x^k=\exp (k\ln x)$，于是 $F^k(x)=\exp (k\ln F(x))$，直接一个 $\ln$ 一个 $\exp$ 即可。

但是 $[x^0]F(x)$ 不一定为 $1$，不能直接 $\ln$，把多项式转换成 $F(x)=x^{a}b\ast G(x)$ 的形式，于是 $F^k(x)=x^{ak}{b}^k{G}^k(x)$，注意 $k$ 在 $b^k$ 中对 $\phi (mod)$ 取模。

常系数齐次线性递推#

已知对于 $n\ge k$，有 $a_n=\sum _{i=1}^k{f}_i{a}_{n-i}$，给出 $f_{1...k},a_{0...k-1}$，求 $a_n$。

$n\le {10}^9$。

设 $F(\sum f_i{x}^i)=\sum f_i{a}_i$，答案即为 $F(x^n)$。

构造多项式 $G(x)=x^k-\sum _{i=0}^{k-1}{f}_{k-i}{x}^i$。

显然，$F(G(x))=F(x^k-\sum _{i=0}^{k-1}{f}_{k-i}{x}^i)=a_k-\sum _{i=0}^{k-1}{f}_{k-i}{a}_i=0$

那么若 $x^n=P(x)G(x)+Q(x)$，那么 $F(x^n)=F(Q(x))$。

这相当于多项式取模。但是 $n$ 太大，我们可以用快速幂，把普通乘换成 $\text{ntt}$，把普通取模换成多项式取模。

部分代码合集

点击查看代码

ll power(ll a,ll b=mod-2){
	ll s=1;
	while(b){
		if(b&1) s=s*a%mod;
		a=a*a%mod; b>>=1;
	} return s;
}
struct POLY{
	ll rev[maxn<<2], tr, inv[maxn<<2];
	void Getrev(ll n){
		if(tr==n) return; tr=n;
		for(ll i=1;i<n;i++)
			rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1? n>>1:0);
	}
	void ntt(ll *a,ll n){
		Getrev(n);
		for(ll i=1;i<n;i++)
			if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
		for(ll i=1;i<n;i<<=1){
			ll g=power(3,(mod-1)/(i<<1));
			for(ll j=0;j<n;j+=(i<<1))
				for(ll k=0,g0=1;k<i;k++,g0=g0*g%mod){
					ll x=a[j|k], y=a[i|j|k]*g0%mod;
					a[j|k]=(x+y>=mod? x+y-mod:x+y), a[i|j|k]=(x<y? x+mod-y:x-y);
				}
		}
	}
	ll A[maxn<<2], B[maxn<<2];
	void mul(ll *a,ll *b,ll *c,ll n,ll m,ll k){
		for(ll i=0;i<n;i++) A[i]=a[i];
		for(ll i=0;i<m;i++) B[i]=b[i];
		ll l=1;
		while(l<n+m-1) l<<=1;
		ntt(A,l), ntt(B,l);
		for(ll i=0;i<l;i++) A[i]=A[i]*B[i]%mod;
		ntt(A,l), reverse(A+1,A+l);
		ll Inv=power(l);
		for(ll i=0;i<l;i++){
			if(i<k) c[i]=A[i]*Inv%mod;
			A[i]=B[i]=0;
		}
		for(ll i=l;i<k;i++) c[i]=0;
	}
	ll Q[maxn],P[maxn],o[maxn],t;
	void Getinv(ll *a,ll *b,ll n){
		for(ll i=0;i<n;i++) Q[i]=0; t=0;
		while(n>1) o[++t]=n, n=n+1>>1;
		Q[0]=power(a[0]); o[++t]=1;
		for(ll i=t-1;i;i--){
			for(ll j=0;j<o[i+1];j++) P[j]=Q[j];
			mul(P,P,P,o[i+1],o[i+1],o[i]);
			mul(a,P,P,o[i],o[i],o[i]);
			for(ll j=0;j<o[i];j++) Q[j]=(2*Q[j]-P[j]+mod)%mod;
		}
		for(ll i=0;i<o[1];i++) b[i]=Q[i];
	}
	void dao(ll *a,ll *b,ll n){
		for(ll i=1;i<n;i++) b[i-1]=a[i]*i%mod;
	}
	ll r=0;
	void jifen(ll *a,ll *b,ll n){
		while(r<n){
			++r;
			if(r>1) inv[r]=(mod-mod/r)*inv[mod%r]%mod;
			else inv[r]=1;
		}
		for(ll i=n-1;i>0;i--) b[i]=a[i-1]*inv[i]%mod;
		b[0]=0;
	}
	ll R[maxn];
	void ln(ll *a,ll *b,ll n){
		dao(a,R,n);
		Getinv(a,b,n);
		mul(b,R,R,n,n,n);
		jifen(R,b,n);
	}
	ll z[maxn],zlt,F[maxn],G[maxn];
	void Exp(ll *a,ll *b,ll n){
		zlt=0;
		for(ll i=0;i<n;i++) F[i]=0;
		while(n>1) z[++zlt]=n, n=n+1>>1;
		z[++zlt]=1; F[0]=1;
		for(ll i=zlt-1;i;i--){
			ln(F,G,z[i]);
			for(ll j=0;j<z[i];j++) G[j]=(a[j]<G[j]? a[j]+mod-G[j]:a[j]-G[j]);
			G[0]=(G[0]==mod-1? 0:G[0]+1);
			mul(F,G,F,z[i+1],z[i],z[i]);
		}
		for(ll i=0;i<z[1];i++) b[i]=F[i];
	}
	void Sqrt(ll *a,ll *b,ll n){
		zlt=0;
		for(ll i=0;i<n;i++) F[i]=0;
		while(n>1) z[++zlt]=n, n=n+1>>1;
		z[++zlt]=1; F[0]=1;
		for(ll i=zlt-1;i;i--){
			mul(F,F,G,z[i+1],z[i+1],z[i]);
			for(ll j=0;j<z[i];j++) G[j]=(G[j]+a[j]>=mod? G[j]+a[j]-mod:G[j]+a[j]);
			for(ll j=0;j<z[i+1];j++) F[j]=((F[j]<<1)>=mod? (F[j]<<1)-mod:F[j]<<1);
			Getinv(F,F,z[i]);
			mul(G,F,F,z[i],z[i],z[i]);
		}
		for(ll i=0;i<z[1];i++) b[i]=F[i];
	}
}D;